湖北省孝感市伍洛镇中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖北省孝感市伍洛镇中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，是第三象限的角,则=

A.

B.

C.

D．-2参考答案：D略2.一个几何体的三视图如所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．3π B．5π C．10π D．20π参考答案：D【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．【分析】由题意，直观图是以俯视图为底面，侧棱垂直与底面的四棱锥，求出该几何体的外接球的半径，可得结论．【解答】解：由题意，直观图是以俯视图为底面，侧棱垂直与底面的四棱锥，∴该几何体的外接球的半径为=，∴该几何体的外接球表面积为4π?5=20π，故选D．3.已知，则的最小值为（

）A．8

B．16

C．20

D．25参考答案：4.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A． B． C．3 D．2参考答案：A设椭圆离心率，双曲线离心率，由焦点三角形面积公式得，即，即，设，由柯西不等式得最大值为.5.一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：知识点：三视图G2D解析：由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分，如图，所以其体积为，则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是判断原几何体形状，可在熟悉的几何体的三视图基础上进行解答.6.已知i是虚数单位，则=A．i

B．－i

C．1

D．－1参考答案：C【分析】利用复数代数形式的乘除法运算即可得到结果.【详解】=，故选：C．

7.函数的部分图象大致为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B8.定义在R上的函数的图象关于点（成中心对称，对任意的实数都有且则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（）A． B．C．3 D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O点，连接OB，OC，则四边形ABOC为平行四边形．OA⊥OB．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O点，连接OB，OC，则四边形ABOC为平行四边形．OA⊥OB．则最长棱为PC==3．故选：C．10.已知等比数列的公比为正数，且，则=(

)A．

B．

C．

D．2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若是偶函数，则_________.

参考答案：略12.右图是一个空间几何体的三视图，如果主视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，那么该几何体的体积为________________.参考答案：略13.已知函数=x+sinx.项数为19的等差数列满足，且公差.若，则当=__________时，.参考答案：略14.（5分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=．参考答案：55【考点】：类比推理．【专题】：计算题；推理和证明．【分析】：观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果．解：观察下列等式=2，=3，=4，…，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=55，故答案为：55【点评】：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系．15.已知椭圆的右焦点为F(c,0),过F作与x轴垂直的直线与椭圆相交于点P，过点P的椭圆的切线与x轴相交于点A,则点A的坐标为

___。参考答案：略16.在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则|AB|=

.参考答案：略17.如果等比数列的前项和，则常数参考答案：-1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知函数

（I）求的单调区间；

（II）证明：当参考答案：（Ⅰ）f￠(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a)[x－(a－2)]ex．…………2分令f￠(x)＝0，得x1＝a－2，x2＝a．当x变化时，f￠(x)、f(x)的变化如下：x(－∞，a－2)a－2(a－2，a)a(a，＋∞)f￠(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的单调递增区间是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，单调递减区间是(a－2，a)．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得[f(x)]极大＝f(a－2)＝4ea－2．（1）当a≤1时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)或f(1)，由解得－1≤a≤1；（2）当a－2≤1＜a，即1＜a≤3时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)，此时f(a－2)＝4ea－2≤4e3－2＝4e；（3）当a－2＞1，即a＞3时，f(1)＝(a－1)2e＞4e，f(x)≤4e不恒成立．综上，a的取值范围是[－1，3]．…………………12分略19.若F1，F2是椭圆C：+=1（0＜m＜9）的两个焦点，椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，）的直线l与椭圆C交于两点A、B，线段AB的中垂线l1交x轴于点N，R是线段AN的中点，求直线l1与直线BR的交点E的轨迹方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）求出a=3，b=，设椭圆的下焦点F1，设线段PF1的中点为：M；由题意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位线，由椭圆定义，在Rt△OMF1中的勾股定理，求出b=2，得到m．然后求解椭圆C的方程．（Ⅱ）上焦点坐标（0，）．直线l的斜率k必存在．设A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中点Q（x0，y0），利用平方差法得到AB的斜率，通过（1）当x0≠0时，k=kAB=，推出9x02+4y02﹣4y0=0，连结BN，则E为△ABN的重心，设E（x，y），利用重心坐标公式，推出代入9x02+4y02﹣4y0=0轨迹方程，（2）当x0=0时，验证即可．【解答】解：（Ⅰ）∵0＜m＜9，∴a=3，b=，不妨设椭圆的下焦点F1，设线段PF1的中点为：M；由题意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位线，∴|PF2|=2b，由椭圆定义，|PF1|=2a﹣2b=6﹣2b．∴=3﹣b，在Rt△OMF1中：，∴c2=b2+（3﹣b）2，又c2=a2﹣b2=9﹣b2．，∴b2+（3﹣b）2=9﹣b2交点b=0（舍去）或b=2，∴m=b2=4．∴椭圆C的方程：+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）椭圆C的方程：+=1．上焦点坐标（0，）．直线l的斜率k必存在．设A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中点Q（x0，y0），由，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）=﹣9（x1+x2）（x1﹣x2），∴k==﹣=﹣（y0≠0）（1）当x0≠0时，k=kAB=∴k==?9x02+4y02﹣4y0=0，?又l1：y﹣y0=，∴N（），连结BN，则E为△ABN的重心，设E（x，y），则，∴代入9x02+4y02﹣4y0=0可得：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．（2）当x0=0时，l：y=，N（0，0），E（0，）也适合上式，综上所述，点E的轨迹方程为：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．20.已知函数R．（1）若，①当时，求函数f(x)的极值（用a表示）；②若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f(x)图象上点A处的切线与f(x)的图象相交于另一点B，在点B处的切线为，直线的斜率分别为，且，求a，b满足的关系式．参考答案：解：（1）①由及，得，

令，解得或.由知，，单调递增，，单调递减，，单调递增，因此，的极大值为，的极小值为.②当时，，此时不存在三个相异零点；当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为.要使有三个不同零点，则必须有，即.

不妨设的三个零点为，且，则，，

①，②，③②-①得，因为，所以，

④同理，

⑤⑤-④得，因为，所以，

又，所以.

所以，即，即，因此，存在这样实数满足条件.

（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，又，由此可得，化简得，因此，，

所以，，所以.

21.（12分）已知函数的定义域为，值域为．试求函数（）的最小正周期和最值．

参考答案：解析：……2’…………4’当＞0时，，解得，………………6’从而，

，T=，最大值为5，最小值为－5；………………8’当m＜0时，解得，………………10’从而，，T=，最大值为，最小值为．……………………12’22.（本小题满分12分）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

参考答案：（I）（II）连结AC、BD交于G，连结FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，在直