浙江省台州市高龙中学高三数学理联考试卷含解析

浙江省台州市高龙中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据已知中的三视图，结合三视图几何体由两部分组成，上部是锥体，下部为柱体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的正视图的选项是A与D，由左视图可知，选项D不正确，由三视图可知该几何体下部分是一个四棱柱选项都正确，故选A．2.已知数列满足（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C3.曲线在x=e处的切线方程为（）A．y=x B．y=e C．y=ex D．y=ex+1参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求在x=e处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=e处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：，∴，故选B．4.设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=－，且当x∈时，f(x)=4x,则f(107.5)=

(

)A.10

B. C.－10 D.—参考答案：B5.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A．

B．

C．

D．8参考答案：C6.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于

(

）A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：C7.已知函数y=2的定义域为[a,b],值域为[-2,1]，则b-a的值不可能是(

)A.

B.π

C.

D.2π参考答案：D【知识点】正弦函数的图象;利用图象求函数的值域.【答案解析】解：函数在上有

函数的周期,值域含最小值不含最大值，故定义域小于一个周期,故选D【思路点拨】结合三角函数R上的值域，当定义域为，值域为，可知小于一个周期，从而可得结果．8.已知函数满足：①；②在上为增函数若,且,则与的大小关系是()A

B

C

D无法确定参考答案：C略9.

A．

B．

C．1

D．参考答案：答案：B10.已知点,且,则直线的方程为

A.或

B.或C.或

D.或参考答案：B，所以，所以，即直线的方程为，所以直线的方程为或者，选B.7.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，若不等式对任意恒成立，则实数x的取值范围是

参考答案：12.若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为__________．参考答案：9作可行域，则直线z=x+y过点A(5,4)时取最大值9.

13.函数，则的值为____________.参考答案：14.在区间上任取一个数，则圆与圆

有公共点的概率为

. 参考答案：略15.已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10，2(an+an+2)＝5an+1，则数列{an}的通项公式an=____________.参考答案：略16.以抛物线y=x2的焦点为圆心，以焦点到准线的距离为半径的圆被双曲线﹣y2=1的渐近线截得的弦长为

．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，得到圆心坐标和半径，由双曲线方程求出其渐近线方程，再由点到直线距离求得圆心到渐近线的距离，利用勾股定理求得弦长．【解答】解：由y=x2，得x2=4y，∴F（0，1），则所求圆的方程为x2+（y﹣1）2=4，由双曲线﹣y2=1，得其渐近线方程为y=，不妨取y=，即x﹣2y=0，则F（0，1）到直线x﹣2y=0的距离为d=，∴弦长为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，考查了点到直线的距离公式，是中档题．17.已知若或，则的取值范围是____________.参考答案：(-4，0)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的长轴长为6，离心率为，F2为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知：2a=6，，求得a和c的值，由b2=a2﹣c2，求得b，写出椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；【解答】解：（I）根据已知，设椭圆的标准方程为，∴2a=6，a=3，，c=1；b2=a2﹣c2=8，（4分）（II）△PF2Q的周长是定值，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，（7分）在圆中，M是切点，∴，（11分）∴，同理|QF2|+|QM|=3，（13分）∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q的周长是定值6．…（14分）【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.设函数f（x）=ex﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．参考答案：【考点】导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号．得到f'（x）≥2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=ex+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=ex+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=ex+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．20.（14分）已知函数，，为正的常数．（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）求的单调区间，并指明单调性；（Ⅲ）若，，证明：．

参考答案：解析：（Ⅰ）∵的定义域为，

…………（1分）有意义，则，那么的定义域为．

………………（3分）（Ⅱ），

则，

………………（5分）由，得，解得，由，得，解得，∴在上为增函数，在上为减函数．

…………………（7分）（Ⅲ）要证，只须证．而在（2）中，取，则，

………（9分）则在上为增函数，在上为减函数．∴的最小值为．

…………………（12分）那么，得：，即．

…………（14分21.如图所示，曲线C由部分椭圆C1：和部分抛物线C1：连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1所在椭圆的离心率为.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线与C1，C2分别交于点P，Q（P，Q，A，B中任意两点均不重合），若，求直线的方程.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）在抛物线方程中，令，求出，坐标，再由离心率的公式和之间的关系，求出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出横轴上方的椭圆方程，由题意可知：过点的直线存在斜率且不能为零，故设直线方程为，代入椭圆、抛物线方程中，求出，两点坐标，由向量垂直条件，可得等式，求出的值，进而求出直线的方程.【详解】（Ⅰ）因为，所以，即，因此，代入椭圆方程中，得，由以及，可得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出横轴上方的椭圆方程为：，由题意可知：过点的直线存在斜率且不能为零，故设直线方程为，代入椭圆得：，故可得点的坐标为：，显然，同理将代入抛物线方程中，得，故可求得的坐标为：，，，解得，符合，故直线的方程为：.【点睛】本题考查了椭圆方程的性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了数学运算能力.22.（本题10分）已知命题，；命题：当时，恒成立.若是真命题，且为假命题，求实数