高等数学常系数非齐次线性微分方程教案

PAGEPAGE6时间月日星期课题§7-8常系数非齐次线性微分方程教学目的掌握二阶常系数非齐次线性微分方程当为与时，特解的形式及解法教学重点当为与时特解形式及解法教学难点当为与时特解的不同形式。课型专业基础课教学媒体教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是y+py+qy=f(x)（1）其中p、q是常数.根据线性方程解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和y=Y(x)+y*(x).由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解上面已介绍其求解方法，故这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的方法。的形式很多，我们只讨论它为两种特殊形式时方程的特解的求法。一、型二阶常系数非齐次线性微分方程为，为次多项式。可以猜想,方程的特解也应具有这种形式.因为多项式与指数函数的乘积仍然是多项式与指数函数的乘积.因此,设特解形式为y*=Q(x)elx,将代入方程,得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0的根,则l2+pl+q0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式:Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=Qm(x)elx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0的单根,则l2+pl+q=0,但2l+p0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)应设为m+1次多项式:Q(x)=xQm(x),Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=xQm(x)elx.二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是y+py+qy=f(x)（1）其中p、q是常数.根据线性方程解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和y=Y(x)+y*(x).由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解上面已介绍其求解方法，故这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的方法。的形式很多，本节我们只讨论它为两种特殊形式时方程的特解的求法。一、型即，为次多项式。可以猜想,方程的特解也应具有这种形式.因为多项式与指数函数的乘积仍然是多项式与指数函数的乘积.因此,设特解形式为y*=Q(x)elx,将代入方程,得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0的根,则l2+pl+q0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式:Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=Qm(x)elx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0的单根,则l2+pl+q=0,但2l+p0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)应设为m+1次多项式:Q(x)=xQm(x),Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=xQm(x)elx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Qm(x),Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=x2Qm(x)elx.综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=Pm(x)elx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)有形如y*=xkQm(x)elx（4）的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.上述结论可以推广到阶常系数非齐次线性微分方程，这里不再累赘。例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1,l=0).与所给方程对应的齐次方程为y-2y-3y=0,它的特征方程为r2-2r-3=0.由于这里l=0不是特征方程的根,所以应设特解为y*=b0x+b1.把它代入所给方程,得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比较两端x同次幂的系数,得由此求得b0=-1,.于是求得所给方程的一个特解为.例2求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x,l=2).与所给方程对应的齐次方程为y-5y+6y=0,它的特征方程为r2-5r+6=0.特征方程有两个实根r1=2,r2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2e3x.由于l=2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为y*=x(b0x+b1)e2x.把它代入所给方程,得-2b0x+2b0-b1=x.比较两端x同次幂的系数,得由此求得,b1=-1.于是求得所给方程的一个特解为.从而所给方程的通解为.二、elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型其中，Pl(x)是l次多项式，Pn(x)是n次多项式，这时二阶常系数非齐次线性微分方程为y+py+qy=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]其特解可设为y*=xkelx[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx],其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式,m=max{l,n},而k按l+iw(或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.上述结论同样可推广到阶常系数非齐次线性微分方程。例3求微分方程y+y=xcos2x的一个特解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f(x)属于elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型(其中l=0,w=2,Pl(x)=x,Pn(x)=0）.与所给方程对应的齐次方程为y+y=0,它的特征方程为r2+1=0.由于这里l+iw=2i不是特征方程的根,所以应设特解为y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.把它代入所给方程,得(-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.比较两端同类项的系数,得解出,b=0,c=0,于是求得一个特解为总之，二阶常系数非齐次线性微分方程特解的形式：自由项的类型特解的形式（为次多项式）其中为与同次的多项式（分别是次和次多项式，其中之一可为零）其中与均为次多项式，，练习：1、求方程的通解．解特征方程为，其根为，故相应的齐次方程的通解为．自由项属型（），由于是特征方程的根，故可设原方程的特解为．将其代入原方程得，故特解．因此，原方程的通解为．求方程的通解．解特征方程为，其根为．故相应的齐次方程的通解为．自由项属于型（），由于不是特征方程的根，故可设原方程的特解为．将其代入原方程得，故特解．因此，原方程的通解为．三应用问题举例二阶常系数线性方程是在工程和物理问题中常遇到的较重要的一类微分方程。下面我们举几个实际的例子。例1设有一个弹簧,上端固定,下端挂一个质量为m的物体.取x轴铅直向下,并取物体的平衡位置为坐标原点.给物体一个初始速度v0¹0后,物体在平衡位置附近作上下振动.在振动过程中,物体的位置x是t的函数:x=x(t).设弹簧的弹性系数