数值分析大作业

2016级《数值分析》课程课外大作业论文题目：复合梯形与龙贝格求积方法比较与学院：航空制造工程学院二0一六年十二月复合梯形与龙贝格求积方法比较与MATLAB求解(南昌航空大学航空制造工程学院，江西南昌330063)摘要：几十年来，由于计算机的快速发展，求解各种数学问题的数值方法也越来越发蓬勃(Nanchangaviationuniversityinstituteofaviationmanufacturingengineering,NanchangofJiangxiprovince,330063)Abstract:Fordecades,duetosolvingvariousmathematicalproblemsisbecomingmoreandmorevigorousdevelopment,numericalanalysisisabranchofmathematics,computernumericalmethodforsolvingvariousmathematicalproblemsanditstheoryandsoftwareimplemathematicalmodelissetup,andthengivestheresultsofnumericalcalculationmethodandprogrammingcalculation;Thispaperdescribesthecompoundtrapezoidformulquadratureformulaofthebasicprincipleandmethodsteps,throughtheMATLABprogram,itisconcludedthatthecalculationresults,thefinalanalysis,comparethetwodifferentmethodsofKeywords:numericalanalysis;Compoundtrapezoidformula;Longbergformula;MATLAB数学乃科学之母，任何科学技术都离不开数学。数值分析也称为计算方法，在实际问题中，处理数学模型中发现，给出的计算方法中需要计算类似ecosxdx的积分，我们知道，按照我们之前所学高数里面求积分的知识往往算方法和过程，同时，通过进行编程，得出满足要求精度的结果，并对2.1数值积分的基本思想积分中值定理告诉我们，在区间[a,b]内存在一点§,就有相等，那么问题来了，如何确定点§的具体位置呢?所以要算出f(ξ)的值就变得棘手了；换个角度，不妨我们设f(ξ)为区间[a,b]上的平均高度，那么,只要一般化在区间[a,b]取点，并对f(ξ)加权得出机械求积公式：特点：将积分求值问题转化为被积函数值计算问题，便于在计算机上使用2.2复合梯形公式区间[x,xk](k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，得记由于f(x)∈C²[a,b],且于是复合梯形公式的余项为2.3龙贝格公式k+1→k转(2)继续计算表2-1T表kh0T₀²)√②2T(1)2n(0)12134:由表中可知，如果f(x)充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值I,即对于f(x)不充分光滑的函数也可以用龙贝格算法计算，只是收敛慢一些。3.1提出问题试用不同的数值方法计算要求：1)用复合梯形公式计算，使其精度达到10⁶;2)用龙贝格求积公式计算；3)比较、分析上述两种计算方法的精度。4.1复合梯形公式复合梯形公式求解过程：根据题目我们知道，被积函数为f(x)=ecosx,积分的上下限分别为a=0,b=pi,所需要的精度要求我们记为eps;定义简单函数functiony=f(x)y=exp(x)*cos(x);……定义函数初始化过程：b=pi;a=0;eps=10^(-6)n=1;h=(b-a)/2;I1=0;I2=(f(a)+f(b))/h;whileabs(I2-I1)>epsn=n+1:h=(b-a)/n;I1=I2:I2=0;forj=0:n-1x=a+h*i;I2=I2+(h/2)*(f(x)+f(x1));fprintf('复合梯形法在精度=%i下的计算结果’,eps);复合梯形法在精度=1.000000e-06下的计算结果4.2龙贝格公式龙贝格公式求解过程：同理，我们通过y=exp(x)*cos(x);n=5;h=(b-a)./(2.^(0:n-1));r(1,1)=(b-a)*(f(a)+f(b))/2;……定义函数forj=2:nsubtotal=0;subtotal=subtotal+f(r(j,1)=r(j-1,1)/2+h(j)*subtotal;forr(j,(4^(k-1)*r(j,k-1)-r(j-1,k-1))/(4^(k-1)-1)fprintf('龙贝格在n=%i下的计算结果\n',n);r龙贝格在n=5下的计算结果r=0000-12.01110-12.0704-12.1480-12.0700-12.0703-12.0703-12.0703结果分析：由计算结果我们知道，在给定相同精度10⁶要求下，在复合梯形公式计算方法得到的结果为I₂=-12.0705,在龙贝格求积公式方法下得到的结果为r=-12.0703;对于龙贝格算法，我们知道，它是从梯形公式出发，将区间逐次附页：1试题一：1)复合梯形程序如下：functiony=f(x)y=exp(x)*cos(x);b=pi;a=0;eps=10^(-6);n=1;h=(b-a)/2;I1=0;I2=(f(a)+f(b))/h;whileabs(I2-Il)>epsn=n+1;h=(b-a)/n;I1=I2;I2=0;fori=0:n-1x=a+h*i;x1=x+h;I2=I2+(h/2)*(f(x)+f(x1));fprintf'复合梯形法在精度=%i下的计算结果’,eps);复合梯形法在精度=1.000000e-06下的计算结果-12.07052)龙贝格程序如下：functiony=f(x)y=exp(x)*cos(x);n=5;b=pi;a=0;h=(b-a)./(2.^(0:n-1));r(1,1)=(b-a)*(f(a)+f(b))/2;forj=2:nsubtotal=0;fori=1:2^(j-2)附页：2subtotal=subtotal+f(a+(2*i-1)*h(j));r(j,1)=r(j-1,1)/2+h(j)*subtotal;forj,(4^(k-1)*r(j,k-1)-r(j-1,k-1))/(4^(k-1)-1);fprintf('龙贝格在n=%i下的计算结果\n',n);r龙贝格在n=5下的计算结果r=-34.778500000-13.3360-11.9849-12.01110-12.3822-12.0642-12.0695-12.0704-12.1480-12.0700-12.0703-12.0703-12.0703试题二：程序x=0:5:55:x2=polyfit(x,y,2)plot(x,y,’o’)ylabel('valueofy’);plot(x,y,’o',x,y1,'-',x,y2,'r-')xlabel'iterationtime');ylabel('valueofy’);iterationtime图1浓度随时间的变化的散点图iterationtime图2浓度随时间的变化的拟合值试题三：程序x=(0:8).^2;y=0:8;x2=0:64;plot(x,y,’rp',x1,y1)plot(x,y,'rp',x2,y2)三次样条插值数值分析课程学习心得体会时光匆匆，有些事情，它来的那么突然，又走的那么突然。数值分析，作为2016级入学研究生的我来说，一门多么有意思的课程，然而，里面的各种巧妙又精美的算法让我久久不能忘却，眼看就要学期就要结束了，对它的思念化作了一次很现实的期末考，虽然我学习数值分析这门课的时间不是很多，但它所覆盖的知识是这短短的半年无法学完的，更多的只是为如今特别现实的考试制度而感慨万千。我想说，就算这门课结束了，我还是爱学它的。言归正传，接下来让我谈谈对本门课程的一些体会和看法。首先，理论与实践结合的考核方式让我大赞不已，为什么呢?因为……学了半年的数值分析课程，我们对书中的原理算法等从头到尾的过了一遍，甚至在老师辛勤的付出下我们期末又对它进行了又一次的地毯式的“轰炸”也就是说，我们对数值分析这门课中的原理与方法进行了一次又一次的了解，加深和掌握复习，拉格朗日插值，牛顿插值，埃尔米特插值，最小二乘法曲线拟合，复合梯形公式，龙贝格求积公式，高斯消去法，Doolittle分解，雅可比、高斯迭代法，牛顿法等等等等无一不深深留在我们的脑海中，但是，却缺少对它们的应用，因此我们对之还是不知道怎么使用，然而，恰好是老师明智的抉择布置了大作业，这让我们对它们的应用有了一个很好的平台，于是我们自然而然地就接触了MATLAB,为此，我们就可以亲身感受到算法的强大与巧妙，感受到不同算法的过程及优劣，也感受到了数值