湖北省黄冈市陶斯中学高三数学理期末试卷含解析

湖北省黄冈市陶斯中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为()（A）18

（B）24

（C）

36

（D）

48参考答案：C2.由直线及曲线围成的封闭图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.已知集合，，则A．[1,2)

B．(－∞,1)∪[2,+∞)

C．[0,1]

D．(－∞,0)∪[2,+∞)参考答案：B由题意，，，所以，故选B．

4.当a＞l时，函数f（x）=logax和g（x）=（l﹣a）x的图象的交点在(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数和一次函数的图象和性质即可判断解答： 解：∵a＞l时，f（x）=logax的图象经过第一四象限，g（x）=（l﹣a）x的图象经过第二四象限，∴f（x）=logax和g（x）=（l﹣a）x的图象的交点在第四象限故选：D．点评：本题考查了对数函数和一次函数的图象和性质，属于基础题5.已知函数的周期为2,当时,,如果，则函数的所有零点之和为（）A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：

D

略6.已知a∈（-，0），cosa=，则tan(a+)等于

A．-

B．

C．-7

D．7参考答案：A略7.复数，，则复数在复平面内对应的点位于（

▲

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A略8.在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项参考答案：B【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在展开式的通项中，令x=1得出第5项的系数与第3项的系数表达式，由已知，求出n，再在通项中令x得指数为0，确定常数项．【解答】解：展开式的通项为Tr+1=第5项的系数为?24，第3项的系数为?22，由已知，得出?24：?22=56：3，解得n=10令10﹣5r=0，可得r=2时，取到常数项，故选：B．【点评】本题考查二项式定理的应用：求指定的项．牢记公式是基础，方程思想是关键．9.正项等差数列{an}的前n和为Sn，已知，则=（

）A.35 B.36 C.45 D.54参考答案：C【分析】由等差数列{an}通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出.【详解】正项等差数列{an}的前项和，，，解得或（舍），，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（

）A．4π B．8π C．10π D．12π参考答案：D由三视图可知，该几何体是一个俯视图为直角三角形的三棱锥，其外接球相当于一个长为2，宽为2，高为2的长方体的外接球∴外接球的直径为∴该几何体的外接球的表面积为故选D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________．参考答案：【知识点】零点与方程函数图象【试题解析】因为原命题等价于函数与图像只有一个交点，a为直线在x轴上的截距，有图像可得。

故答案为：

12.已知，，且，则与夹角的余弦值为___________.参考答案：，，．13.函数的定义域为

.参考答案：14.已知函数f（x）=|cosx|sinx，给出下列五个说法：①f（π）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π．⑤f（x）的图象关于点（，0）成中心对称．其中正确说法的序号是．参考答案：①③【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据三角函数的性质，依次对各选项进行判断．【解答】解：由题意函数f（x）=|cosx|sinx=（k∈Z）；对于①：f（π）=|cos|sin=）=|cos（）|sin（27π）==﹣；所以①对对于②：若|f（x1）|=|f（x2）|，当x2=，x1=时，成立，则x1=x2+，所以②不对对于③f（x）在区间[﹣，]上时，f（x）=sin2x，可得2x∈[，]，x∈[﹣，]上是单调递增；所以③对．对于④：函数f（x）=|cosx|sinx，则f（x+π）=|cos（x+π）|sin（x+π）=﹣（|cosx|sinx）=﹣f（x），可得函数f（x）的周期不是π．所以④不对．对于⑤：由于f（）=|cos（x+）|sin（x+）=cosx?|sinx|，f（）=|cos（﹣x+）|sin（﹣x+）=cosx?|sinx|则：f（）=f（）图象关于x=对称．所以⑤不对．综上所得：①③正确，②④⑤不对．故答案为：①③．15.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

。参考答案：16.已知正实数满足，则的最小值为________________.参考答案：略17.有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.参考答案：略19.（本小题满分12分）已知椭圆：左、右焦点为、，、、、是它的四个顶点(其相应位置如图所示)．且，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过且与两坐标轴均不平行的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）设，则由

①由

②

由①、②两式得．故椭圆的方程为．

……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为，的坐标为依题意，设的方程为由设，则有……8分则，又点到直线的距离，即③又，即④由③、④得由．故的取值范围是．

……12分

（注：本题有其它解法，请根据不同解法进行判分）20.已知是底面边长正四棱柱，为与的交点。

（1）设与底面所成的角为，求该棱柱的侧面积;

（2）(理)若点到平面的距离为，求四棱柱的体积。

(文)设高,求四面体的体积。参考答案：(1)连，底面于，

∴与底面所成的角为，

即,则,

则.

⑵建立如图空间直角坐标系，有

设平面的一个法向量为，

∵，取得

∴

点到平面的距离为，

则。则.

(文)连，则所求四面体的体积

21.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB中点．（1）证明：D1E⊥CE；（2）求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；（3）求A点到平面CD1E的距离．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，证明CE⊥面D1DE即可证明：D1E⊥CE；（2）建立坐标系，利用向量法即可求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；（3）根据点到平面的距离公式，即可求A点到平面CD1E的距离．【解答】解：（1）证明：DD1⊥面ABCD，CE?面ABCD所以，DD1⊥CE，Rt△DAE中，AD=1，AE=1，DE==，同理：CE=，又CD=2，CD2=CE2+DE2，DE⊥CE，DE∩CE=E，所以，CE⊥面D1DE，又D1E?面D1EC，所以，D1E⊥CE．（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），由（1）得=（1，1，﹣1），=（1，﹣1，0）?=x+y﹣1=0，?=x﹣y=0解得：x=y=，即=（，，1）；又平面CDE的法向量为=（0，0，1），∴cos＜，＞===，所以，二面角D1﹣EC﹣D的余弦值为，（3））由（1）（2）知=（0，1，0），平面CD1E的法向量为=（，，1）故，A点到平面CD1E的距离为d===．22.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.

(1)现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X表示质量在[300,350)内的芒果个数，求X的分布列及数学期望.(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所