广东省清远市光明实验中学高三数学理模拟试题含解析

广东省清远市光明实验中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，，若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.已知函数f（x）=sin（2）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）·的值为

A．

B．

C．1

D．2

参考答案：C3.已知是定义在上的奇函数，且恒成立，当时，则的值为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值………（

）．.恒为正数

恒为负数

.恒为0

.可正可负参考答案：ATTT同理，，，…，，又T，以上各式相加，得.选A.

5.可导函数的导函数为，且满足：①；②，记，，则的大小顺序为

（）A、 B、 C、 D、参考答案：C略6.已知实数满足其中是自然对数的底数,则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，则k的取值范围是（）A． B． C．（﹣∞，0） D．参考答案：D【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】转化函数的零点为方程的根，利用数形结合求解即可．【解答】解：函数，若函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，即f（x）=k，只有一个解，在平面直角坐标系中画出，y=f（x）的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k∈（﹣∞，0）∪（，2），答案为D，故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的图象以及函数的零点的关系，考查转化思想以及数形结合的应用．8.设使直线与曲线有公共点的a的取值范围为集合A，则（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】设公共点，可得，通过构造函数，求导分析单调性可得，从而得.【详解】设直线与曲线有公共点,则,设,则,所以在上是增函数,在上是减函数,所以,，又，所以，当时，,所以,故选A.【点睛】本题是一道灵活处理方程问题求参的试题，用到了放缩的思想和构造新函数的方法，方法较为巧妙，难度较大，属于难题.9.执行如图所示的程序框图，则输出结果为A.15 B.16C.25 D.36参考答案：C【知识点】算法与程序框图.

L1

解析：循环过程执行的结果依次是：（1）s=1,k=2;(2)s=4,k=3;(3)s=9,k=4;(4)s=16,k=5;(5)s=25,k=6.∵k=6>5,∴输出S为25.故选C.【思路点拨】依次写出循环过程执行的结果即可.10.如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上的任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为．参考答案：（0，2）【考点】7E：其他不等式的解法；4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x，∵f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）为减函数，又f（1）=1，∴f（log2x）＞=log2x+，即g（log2x）=f（log2x）﹣log2x＞=g（1）=f（1）﹣=g（log22），∴log2x＜log22，又y=log2x为底数是2的增函数，∴0＜x＜2，则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．故答案为：（0，2）12.某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为_____．参考答案：5413.已知，则=

▲．参考答案：214.若函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数，则实数a的值为

．参考答案：0【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．【分析】由题意函数是偶函数，由偶函数的定义可以得到ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1），进而得到ax=﹣ax在函数的定义域中总成立，即可判断出a的取值得到答案【解答】解：函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数∴f（x）=f（﹣x），即ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1）∴ax=﹣ax在函数的定义域中总成立∴a=0故答案为015.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y﹣d=0垂直，则数列{}的前100项的和为．参考答案：【考点】8E：数列的求和．【分析】直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y﹣d=0垂直，可得=﹣1，=1，解得a1，d．再利用等差数列的前n项和公式与“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y﹣d=0垂直，∴=﹣1，=1，解得a1=2，d=2．∴Sn=2n+=n2+n．∴==．∴数列{}的前100项的和=+…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了“裂项求和方法”、等差数列通项公式及其求和公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知向量满足，且，则与的夹角为

.参考答案：17.在等比数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，则a12+a22+…+an2=．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【分析】根据条件等比数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，可知a1=1，公比为2，从而有{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列，故可求．【解答】解：由等比数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，可知a1=1，公比为2∴{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列∴a12+a22+…+an2==故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）讨论导函数的零点个数；（2）当时，证明：.参考答案：（1）见解析

（2）见解析【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后将原问题转化为两个函数交点个数的问题，分类讨论即可确定零点个数；(2)结合(1)的结论首先确定函数的最大值，然后结合零点的性质和均值不等式即可证得题中的不等式.【详解】（1）的定义域为，（）．原问题等价于函数与函数交点个数，当时，两函数无交点，没有零点；当时，两函数有一个交点，存在唯一零点．（2）由（1），设在唯一零点为，当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减，所以，当时，取得最大值，且，满足，故，当且仅当时等号成立，故.【点睛】本题主要考查导数研究函数的零点，导函数证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.（12分）在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．(Ⅰ)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：解析:(Ⅰ)、可能的取值为、、，，，，且当或时，．因此，随机变量的最大值为…………4分

有放回抽两张卡片的所有情况有种，…6分

(Ⅱ)的所有取值为．时，只有这一种情况．

时，有或或或四种情况，时，有或两种情况．，，…………8分

则随机变量的分布列为：………………10分因此，数学期望…………12分20.在几何体ABCDE中，∠BAC=90°，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中点，AB=AC（1）求证：DC∥平面ABE；（2）求证：AF⊥平面BCDE．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）要证明DC∥平面ABE，关键是要在平面ABE中找到可能与DC平行的直线，观察发现BE满足要求，根据已知证明BE∥DC，再根据线面平行的判定定理即可求解；（2）要证明AF⊥平面BCDE，由我们要证明AF与平面BCDE中两条相交直线都垂直，由题意分析易证DC、BC均与AF垂直．【解答】证明：（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC∴DC∥EB，又∵DC?平面ABE，EB?平面ABE，∴DC∥平面ABE．（2）DC⊥平面ABC，AF?平面ABC，∴DC⊥AF，又∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，∵BC∩DC=C，∴AF⊥平面BCDE．21.(本小题满分12分)某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：小微企业短缺资金额(万元)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频率0.050.10.350.30.2

(I)试估计该市小微企业资金缺额的平均值；(II)某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A行业3家小微企业和B行业的2家小微企业中随机选取3家小微企业，进行跟踪调研．求选取的3家小微企业中A行业的小微企业至少有2家的概率．参考答案：（1）平均值为：；

.......................5分（2）设A行业3家小微企业为：，，；设B行业2家小微企业为：，.5家小微企业随机选取3家有10种可能：，，，，，，，，，，................8分选取的3家小微企业中A行业的小微企业至少有