浙江省温州市南雁中学高三数学理期末试卷含解析

浙江省温州市南雁中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位.若复数z满足，则复数z=A. B. C. D.参考答案：B2.下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为（）A．

B．

C。

D．参考答案：B略3.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是A．45 B．50 C．55 D．60参考答案：B4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人

所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（

）A．钱

B．钱

C．钱

D．钱参考答案：D设等差数列的首项为，公差为，因为，所以有，解得：，故选D．5.已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B6.已知数列{an}通项公式为an=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用数列求和，推出m，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：数列{an}通项公式为an=，其前m项和为，可得1﹣=，即1﹣=．解得m=9．双曲线=1的渐近线方程：y=±x．故选：C．7.定义在上的函数满足，对任意给定的不相等的实数，，不等式恒成立，若两个正数，满足，则的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C因为任意给定的不相等的实数，，不等式恒成立，所以在实数上单调递增；因为，由可得，由题意可得，画出、的可行域，则可看作区域内点与定点的斜率；直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，，所以，选C．8.已知向量=(3，1)，=(﹣1，3)，=m﹣n（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A． [，2]

B．[，2] C．[，]

D．[，2]参考答案：B【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故选：B．9.执行如图所示的程序框图后，输出的值为，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.把曲线先沿x轴向左平移个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到曲线方程是（

）A

B.

C.D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC=4，则△ADC的面积的最大值为．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性质确定AD?DC的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值．【解答】解：在△ACD中，cos∠ADC===﹣，整理得AD2+CD2=48﹣AD?DC≥2?AD?DC，∴AD?DC≤16，AD=CD时取等号，∴△ADC的面积S=AD?DC?sin∠ADC=AD?DC≤4，故答案为：12.南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算）参考答案：【分析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案．【详解】设第十等人得金斤，第九等人得金斤，以此类推，第一等人得金斤，则数列构成等差数列，设公差为，则每一等人比下一等人多得斤金，由题意得，即，解得，所以每一等人比下一等人多得斤金．【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．13.（几何证明选讲选做题）极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为

．参考答案：14.函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是．参考答案：[﹣2，1]略15.的展开式中项的系数为

．参考答案：

6016.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19,m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________．参考答案：1517.函数f（x）=2x2﹣3x+1在区间上的最小值是

，最大值是 ．参考答案：;0.考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的增减区间，然后根据函数的增减性求其最大值和最小值．解答： 解：∵f（x）=2（x﹣）2﹣，∴为f（x）的减区间，为f（x）的增区间．∴当x=时，f（x）min=﹣，当x=﹣1时，f（x）max=0．故答案为：﹣；0．点评：掌握函数增减区间的判断并会根据其增减性求函数的最大最小值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．【专题】综合题．【分析】（1）由曲线C的参数方程为，知曲线C的普通方程是，由点P的极坐标为，知点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系．（2）由Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°），知到直线l：x﹣y+4=0的距离=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，∴曲线C的普通方程是，∵点P的极坐标为，∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，得0﹣4+4=0，成立，故点P在直线l上．（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：=，（0°≤α＜360°）∴．【点评】本题考查椭圆的参数方程和点到直线距离公式的应用，解题时要认真审题，注意参数方程与普通方程的互化，注意三角函数的合理运用．19.（本小题满分12分）在中，角所对的边为，已知。（1）求的值；（2）若的面积为，且，求的值。参考答案：解：（1）

……4分 （2），由正弦定理可得：

由（1）可知

，得到

…………8分由余弦定理可得

…………10分由可得或，所以或

………12分本试题主要是考查了解三角形的运用。（1）因为，得到结论。（2），由正弦定理可得：

由（1）可知，结合面积公式得到的值，结合余弦定理求解得到a,b,c的值。20.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为﹣，求双曲线的离心率．参考答案：【考点】KB：双曲线的标准方程；J7：圆的切线方程；KC：双曲线的简单性质．【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得=1，解得a=b，结合c==2算出a=b=，可得该双曲线方程；（2）设A（m，n），根据切线垂直于过切点的半径算出m=．而以点O为圆心，c为半径的圆方程为x2+y2=c2，将A的坐标代入圆方程，算出点A（c，c），将此代入双曲线方程，并结合c2=a2+b2化简整理得c4﹣2c2a2+a4=0，再根据离心率公式整理得3e4﹣8e2+4=0，解之即可得到该双曲线的离心率．【解答】解：（1）∵双曲线的渐近线方程为y=∴若双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得=1，解之得a=b∵c==2，∴a=b=由此可得双曲线方程为；（2）设A的坐标为（m，n），可得直线AO的斜率满足k==，即m=…①∵以点O为圆心，c为半径的圆方程为x2+y2=c2∴将①代入圆方程，得3n2+n2=c2，解得n=c，m=c将点A（c，c）代入双曲线方程，得化简得：c2b2﹣c2a2=a2b2，∵c2=a2+b2∴b2=c2﹣a2代入上式，化简整理得c4﹣2c2a2+a4=0两边都除以a4，整理得3e4﹣8e2+4=0，解之得e2=或e2=2∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e=（舍负）【点评】本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率和双曲线的方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．21.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，已知∠B=60°，AC=7．AD=6，面积（1）求sin∠DAC和cos∠DAB的值；（2）求边BC，AB的长度．参考答案：考点：余弦定理；三角形的面积公式；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由求得sin∠DAC=．再由AC平分∠DAB，可得∠DAB=2∠DAC，利用二倍角公式求得cos∠DAB=1﹣2sin2∠DAC的值．（2）△ABC中，sin∠BAC=sin∠DAB=，由正弦定理求得BC=5，再由余弦定理求得AB的值．解答：解：（1）∵=?AD?AC?sin∠DAC=×6×7×sin∠DAC，解得sin∠DAC=．再由AC平分∠DAB，可得∠DAB=2∠DAC，∴cos∠DAB=cos2∠DAC=1﹣2sin2∠DAC=1﹣=．（2）△ABC中，sin∠BAC=sin∠DAB=，由正弦定理可得，即，解得BC=5．再由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?sin∠BAC，即25=AB2+49﹣14AB?，解得AB=8，或AB=﹣3（舍去）．综上，AB=8，BC=5．点评：本题主要考查三角形的面积公式、二倍角公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．22.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范