高等数学数列极限省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（1）第三讲数列极限讲课教师：易学军1/60欢迎观看2/60第二章极限本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道利用“ε－δ”和“ε－X”语言描述函数极限。了解极限与左右极限关系。熟练掌握极限四则运算法则以及利用左右极限计算分段函数在分段点处极限。了解无穷小量定义。了解函数极限与无穷小量间关系。掌握无穷小量比较，能熟练利用等价无穷小量计算对应函数极限。了解无穷大量概念及其与无穷小量关系。了解极限存在准则。能很好利用极限存在准则和两个主要极限求对应函数极限。3/60第二章极限第一节数列极限一、数列及其简单性质二、数列极限三、数列极限性质四、数列收敛准则4/60称为一个数列,

记为{xn}.1.定义数列中每一个数称为数列一项xn=f(n)

称为数列通项或普通项一、数列及其简单性质数列也称为序列5/602.数列表示法公式法图示法表格法利用数轴表示利用直角坐标系表示6/60介绍几个数列xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……例17/60…xnx2x1x0x3…••••••••••8/6001–1x全部奇数项全部偶数项9/60x1M3x1xx4x2••••••••••0全部奇数项10/601xnx3x2x1x0………••••••••••…11/603.数列性质单调性有界性12/60(1)数列单调性单调增加不降低数列单调降低情形怎么定义？13/60单调降低不增加14/60严格单调增加(单调增加)严格单调降低(单调降低)单调增加(不降低)单调降低(不增加)统称为单调数列数列15/60(2)数列有界性回想一下前面讲过函数有界性情形我学过吗？16/6017/60数列有界性定义怎样定义数列无界？有界数列在数轴上和在直角坐标系中图形会是什么样子？想想：18/60|xn

|<

M*,n

N

xnU(0,M*

),n

N从数轴上看,有界数数列{xn}

全部点都落在某区间(－M*,M*)中.()x0M*－M*••••••••••19/60例2…xnx2x1x0x3…••••••••••观察例1中几个数列：20/6001–1x21/60x1M3x1xx4x2••••••••••022/601xnx3x2x1x0………••••••••••…23/60xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……有些数列即使无界,但它或者是下方有界,或者是上方有界.24/60若xn

M,M

R,

则称{xn}有上界.若xn

m,m

R，

则称{xn}有下界.{xn}:有界

现有上界又有下界.25/60一个数列有界(有上界,有下界),则必有无穷多个界(上界,下界).26/60现在来讨论怎样定义数列无界：首先看有界性定义关键所在对全部27/60例3证分析28/60二、数列极限00129/60极限描述是变量改变趋势.讨论数列当无限增大时改变趋势.轻易看出:当无限增大时,x1x3x2n-1x2nx4x2

x0

((()))*••••••••••••••••••••••••••30/60“n无限增大”

记为n.此时称数列当n时以零为极限,记为：这就是该数列改变趋势31/60图上看,从数列x1x3x2n-1x2nx4x2

x0

((()))*••••••••••••••••••••••••••

量化表示：n

时,xn

a.32/60预先任意给定一个正数

>0,不论它值多么小,当n无限增大时,数列{xn}总会从某一项开始,以后全部项都落在U(0,

)中.（在U(0,

)外面只有有限项）33/60

010)1(e<--nn其中,是描述点xn与点0无限靠近度量标准,它是预先任意给定,与{xn}极限存在是否无关.不存在.34/60由N存在是否判断数列极限是否存在.

n>N描述n.经过目标不等式来寻找N

>0,N=N(

).不等式称为目标不等式.35/60普通地,假如数列{xn}当n

时,

列{xn}当n

时以a为极限,记为xn能够无限地趋近某个常数a,

则称数此时,也称数列是收敛.36/60例400137/60若{xn}当n

时没有极限,则称{xn}发散.若时,使当记为或此时,也称数列{xn}是收敛.极限描述是变量改变趋势数列项不一定取到它极限值.数列极限定义：38/60例539/60例640/60例741/60例842/60例943/60例1044/601.唯一性定理若数列{xn}收敛,则其极限值必唯一.想想,怎样证实它？三、数列极限性质45/60设数列{xn}收敛,但其极限不唯一,不妨设有：证利用反证法任意性常数由

任意性,上式矛盾,故a=b.46/60唯一性定理推论任何一个子数列都收敛,且均以a为极限.充分必要条件何谓子数列？47/60子数列概念在数列{xn}:x1,x2,

,xn,

中,保持各项原来先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所组成新数列,称为原数列一个子数列,记为唯一性定理推论往往用来证实或判断数列极限不存在．48/60例1149/60例1250/6051/602.有界性定理

若数列{xn}收敛,则{xn}必有界.证设则由极限定义,取时,即有则由数列有界定义得：数列{xn}收敛,则必有界.该定理逆命题不真,即有界数列不一定收敛.比如,{(－1)n}.52/60有界性定理推论：即无界数列极限不存在.无界数列必发散.53/60例13发散数列不一定都无界.比如,{(－1)n}.54/60收敛数列必有界.有界数列不一定收敛.无界数列必发散.发散数列不一定无界.55/6056/603.保号性定理证由绝对值不等式知识,马上得a<0情形类似可证