2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》综合性解答题优生辅导训练(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》综合性解答题优生辅导训练（附答案）1．在平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣2ax﹣4a（x≥0）的图象记为M1，函数y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x＜0）的图象记为M2，其中a为常数，且a≠0．图象M1、M2，合起来得到的图象记为M．（1）直接写出图象M2与x轴的交点坐标．（2）当图象M1的最低点到x轴距离为2时，求a的值．（3）当a＝1时，若（m，﹣）在图象M上，求m的值．（4）点A、B、C、D的坐标分别为（﹣2，2）、（3，2）、（3，﹣1）、（﹣2，﹣1），当M1、M2的顶点均在矩形ABCD内部时，直接写出a的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（1，0），点C（0，3），且BC＝5．（1）求二次函数的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣，0），试判断△DCB的形状，并说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．抛物线y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，当t＝0时，连接AC、BC．求△ABC的面积；（2）在（1）的条件下，P（﹣7，0）为x轴上一点，在抛物线第四象限的图象上有一点G，连PG交线段AC于点D，当tan∠PDA＝，求出点G的坐标；（3）如图2，当﹣1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得2CE＝3CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．4．已知二次函数y＝x2﹣2ax+1（a为常数），若点A、点B是二次函数图象上两点，点A的坐标为（a﹣1，y1），点B的坐标为（2a+1，y2），且点A与点B不重合．（1）当y1＝y2时，求函数y＝x2﹣2ax+1的表达式．（2）当y1＜y2时，求a的取值范围．（3）当a＞0时，若点B到x轴的距离是点A到x轴的距离的2倍，求a的值．（4）以AB为对角线构造矩形ACBD，且矩形两边分别与x轴、y轴平行．二次函数图象与矩形ACBD的边交于点E，当矩形的一个顶点与点E连线所在直线将矩形ACBD的面积分成1：3两部分时，直接写出a的值．5．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的立信抛物线，y＝kx+t（k≠0）为y＝ax2+bx+c（a≠0）的立信直线，如：y＝x2是y＝x的立信抛物线，y＝x是y＝x2的立信直线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的立信抛物线，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若直线y＝mx﹣3（m≠0）与其立信抛物线y＝x2+2x+n的两个交点间的距离为，求m，n的值．（3）若抛物线的顶点为C，经过点C作它的两条立信直线分别交抛物线于A，B两点，连接AB，当∠ACB＝90°时，直线AB是否过定点？若存在，则求出该定点，若不存在，则说明理由6．如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（2cos60°，﹣sin45°）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠AOB的值；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND＝∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，求点M的坐标．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，2，点C（4，0），且交x轴于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求三角形ACM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A'，若线段O′A'与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．8．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3），与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第四象限内抛物线上的点，连接CP，AP，AC，如图1，当CP⊥AC时，求P点坐标；（3）设点M为抛物线上的一点，若∠MAB＝2∠ACO时，求M点坐标．9．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3．（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，如果存在，求点P的坐标，如果不存在，说明理由；（3）如图2，直线y＝kx+n与抛物线交于点E、D．若△AED的内心落在x轴上，求k的值．10．如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC．（1）求顶点D的坐标；（2）求直线BC的解析式；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值．（4）以AB为直径，M为圆心作⊙M，试判断直线CD与⊙M的位置关系，并说明理由．11．已知抛物线y＝mx2﹣3mx﹣18m（m是常数，且m≠0）．（1）证明：抛物线与x轴总有两个交点；并求出这两个交点A、B（A在B的左侧）的坐标；（2）若点C（1，5）和D（5，n）在抛物线上，点P是线段AB上的点，且有．请判断△PCD的形状；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点Q，使得S△QCD＝S△OCD？若存在，求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知抛物线C1：y＝x2+bx+c（a≠0）经过点（1，c﹣3）．（1）求b的值；（2）将抛物线C1向右平移1个单位，得到抛物线C2，抛物线C2的顶点在直线y＝x+1上，求抛物线C2的函数关系式；（3）设抛物线C1的顶点为P，将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C3，抛物线C1与抛物线C3相交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线C3的顶点为Q，试判断四边形APBQ是否能成为正方形，若能，求出c的值；若不能，请说明理由．13．综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上找一点P，作PG⊥BC，求线段PG的最大值；（3）连接CD、CB，当∠PCB＝∠DCB时，求点P的坐标．（4）若点M为直线BC上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由．14．如图，边长为5的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点M（0，4）为顶点的抛物线经过点N（﹣4，0），点P是抛物线上第一象限内一动点，过点P作PF⊥BC于点F，点E（0，3），连接PE．（1）求抛物线的解析式；（2）在点P运动过程中，PE﹣PF的值是否改变，若改变，求其取值范围；若不改变，求出其值；（3）①在点P运动过程中，当∠EPF＝60°时，求点P的坐标；②连接EF，当∠EPF＝60°时，把△PEF沿y轴平移（限定点E在射线MO上），并使抛物线与△PEF的边始终有两个交点，直接写出点P的纵坐标n的取值范围．15．如图，四边形ABCD顶点坐标分别为A（0，），B（﹣，），C（1，0），D（1，），抛物线经过A，B，D三点．（1）请写出四边形AOCD是哪种特殊的平行四边形；（2）求抛物线的解析式；（3）△ACD绕平面内一点M顺时针旋转90°得到△A1C1D1，即点A，C，D的对应点分别为A1，C1，D1，若△A1C1D1恰好两个顶点落在抛物线上，求此时A1的坐标．16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+4m（x≤2m，m为常数）的图象记为G．（1）当m＝﹣2时，求图象G最低点的坐标．（2）当图象G与x轴有且只有一个公共点时，求m的取值范围．（3）当图象G的最低点到直线y＝2的距离为3时，求m的值．（4）图象G上点A的横坐标为2m，点C的坐标为（﹣2，3），当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线作矩形ABCD，使矩形的边与坐标轴平行，当图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BC，若点M是线段BC上一动点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴，交抛物线于点N，连接ON，当MN的长度最大时，判断四边形OCMN的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点N的直线与抛物线交于点E，且∠DNE＝2∠ODN．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标，无需说明理由；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）b＝，c＝；（2）若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；（3）若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点D是第二象限抛物线上的动点，过点D作BC的平行线l，交AC于点E，交x轴于点F，连接CF．（1）求抛物线的解析式；（2）若S△AEF＝S△EFC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，直线l上是否存在点P，使△BCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C，D为直线AB上方抛物线上一动点．（1）求b和c的值；（2）连接DO交AB于点E，当DE：OE＝3：4时，求此时点D的坐标；（3）是否存在点D，使得∠DBA＝2∠BAC？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）对y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x＜0），令y＝0，则﹣ax2﹣2ax+4a＝0（x＜0），∴﹣x2﹣2x+4＝0，解得x＝﹣1（舍去）或x＝﹣﹣1，∴图象M2与x轴的交点坐标为（﹣﹣1，0）；（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣4a＝a（x﹣1）2﹣5a，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵x≥0，当a＞0时，函数的最低点的纵坐标为﹣5a，∴|﹣5a|＝2，∴a＝；当a＜0时，函数无最小值，∴此情况不满足；综上所述：a＝；（3）当a＝1时，y＝x2﹣2x﹣4（x≥0），y＝﹣x2﹣2x+4（x＜0），当m≥0时，﹣＝m2﹣2m﹣4，解得m＝+1；当m＜0时，﹣＝﹣m2﹣2m+4，解得m＝﹣﹣1；综上所述：m的值为+1或﹣﹣1；（4）∵y＝ax2﹣2ax﹣4a＝a（x﹣1）2﹣5a，∴图象M1的顶点（1，﹣5a），∵y＝﹣ax2﹣2ax+4a＝﹣a（x+1）2+5a，∴图象M2的顶点为（﹣1，5a），如图1，当a＞0时，﹣5a＞﹣1，5a＜2，∴0＜a＜；如图2，当a＜0时，﹣5a＜2，5a＞﹣1，∴﹣＜a＜0；综上所述：a的取值范围为﹣＜a＜且a≠0．2．解：（1）∵C（0，3），∴OC＝3，在Rt△COB中，OC＝3，BC＝5，∠BOC＝90°，∴OB＝＝4，∴点B的坐标是（4，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣4），即y＝x2﹣x+3；（2）△DCB是直角三角形，理由：∵BC＝5，∴BC2＝52＝25，在Rt△COD中，DC2＝CO2+DO2＝32+（）2＝，∵BD2＝[4﹣（﹣）]2＝，∴BC2+DC2＝BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：∵抛物线的解析式是y＝x2﹣x+3，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝．设点P坐标为（，m）．∵点C（0，3），点B（4，0），∴BP2＝（4﹣）2+m2＝+m2．PC2＝（）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m+．BC2＝25．①当∠PCB＝90°时，BP2＝BC2+PC2．∴+m2＝25+m2﹣6m+．解得：m＝．故点P（，）；②当∠PBC＝90°时，PC2＝PB2+BC2．∴m2﹣6m+＝+m2+25，解得：m＝﹣2．故点P（，﹣2）；③当∠BPC＝90°时，有BC2＝BP2+PC2．∴25＝m2﹣6m+++m2．解得：m1＝，m2＝．∴P（，）或P4（，）．综上所述，存在，点P的坐标为（（，）或（，﹣2）或（，）或（，）．3．解：（1）将t＝0代入抛物线y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3得：y＝x2﹣2x﹣3．当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC＝3，当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．（2）由（1）知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，在Rt△ACO中，AC＝＝＝，在图1中，过A作AT∥PD，交y轴于T，过点T作TK⊥AC于点K．设T（0，﹣a），则OT＝a，CT＝3﹣a，在Rt△ATO中，AT2＝OA2+OT2＝1+a2，∵sin∠ACO＝＝，即＝，∴TK＝（3﹣a），∵cos∠ACO＝＝，即＝，∴CK＝（3﹣a），∴AK＝AC﹣CK＝﹣（3﹣a）＝a+，∵AT∥PD，∴∠TAK＝∠PDA，∴tan∠TAK＝tan∠PDA＝，∴＝，∴3TK＝4AK，即3×（3﹣a）＝4×（a+），解得：a＝，∴T（0，﹣），设直线AT的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AT的解析式为y＝x﹣，∵PD∥AT，∴设直线PD的解析式为y＝x+c，∵P（﹣7，0），∴﹣×（﹣7）+c＝0，解得：c＝，∴直线PD的解析式为y＝x，由x＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝，x2＝2，∵点G在第四象限，∴x＞0，∴x＝2，∴G（2，﹣3）；（3）当y＝0时，有x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3＝0，即[x+（t﹣3）]•[x+（t+1）]＝0，解得：x1＝﹣t+3，x2＝﹣t﹣1，∵﹣1＜t＜3，∴点A的坐标为（﹣t﹣1，0），点B的坐标为（﹣t+3，0）．当x＝0时，y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3＝t2﹣2t﹣3，∴点C的坐标为（0，t2﹣2t﹣3）．设直线AQ的解析式为：y＝k1x+b1，直线BQ的解析式为：y＝k2x+b2．∴点D的坐标为（0，b1），点E的坐标为（0，b2），∴CD＝（t2﹣2t﹣3）﹣b1，CE＝b2﹣（t2﹣2t﹣3）．∵y＝k1x+b1，y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3，∴x2+（2t﹣2﹣k1）x+t2﹣2t﹣3﹣b1＝0，∴xA•xQ＝t2﹣2t﹣3﹣b1①．同理：xB•xQ＝t2﹣2t﹣3﹣b2②．由②÷①，得：＝＝﹣，∴＝﹣，∵2CE＝3CD，∴＝，∴＝﹣，∴＝﹣，∴t＝．4．解：（1）∵y＝x2﹣2ax+1＝（x﹣a）2﹣a2+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝a，∵y1＝y2，∴2a＝a﹣1+2a+1，∴a＝0，∴y＝x2+1；（2）∵y＝x2﹣2ax+1，∴抛物线的开口向上，∵y1＜y2，∴|2a+1﹣a|＞|a﹣a+1|，解得a＞0或a＜﹣2；（3）∵A的坐标为（a﹣1，y1），点B的坐标为（2a+1，y2），∴A的坐标为（a﹣1，2﹣a2），点B的坐标为（2a+1，2a+2），∴点B到x轴的距离为|2a+2|，A到x轴的距离|2﹣a2|，∵点B到x轴的距离是点A到x轴的距离的2倍，∴|2a+2|＝2|2﹣a2|，解得a＝或a＝或a＝或a＝，∵a＞0，∴a＝或a＝；（4）由题意可得点A的坐标为（a﹣1，2﹣a2），点B的坐标为（2a+1，2a+2），∵点A与点B不重合，∴a﹣1≠2a+1，∴a≠﹣2；如图1，当a＞0时，D（2a+1，2﹣a2），∵S△BED＝×DE×BD，S矩形ACBD＝AD×BD，∴＝×，∵直线BE将矩形ACBD的面积分成1：3两部分，∴＝，∴E点是AD的中点，∴E（a，2﹣a2），∴2﹣a2＝（a）2﹣2a×（a）+1，解得a＝2或a＝﹣2（舍）；如图2，当a＜0时，C（a﹣1，2a+2），∵S△ACE＝×AC×CE，S矩形ACBD＝AC×BC，∴＝×，∵直线AE将矩形ACBD的面积分成1：3两部分，∴＝，∴E点是BC的中点，∴E（a，2a+2），∴2a+2＝（a）2﹣2a×（a）+1，解得a＝﹣或a＝﹣2（舍）；综上所述：a的值为﹣或a＝2．5．解：（1）∵y＝x2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4），∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的立信抛物线，∴（0，﹣4）在直线y＝﹣x+p上，∴﹣4＝0+p．∴p＝﹣4，∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：×4×4＝8．（2）∵y＝x2+2x+n＝（x+1）2+n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x+n的顶点为（﹣1，n﹣1），∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的立信抛物线，∴（﹣1，n﹣1）在直线y＝mx﹣3上，∴n﹣1＝﹣m﹣3，∴m+n＝﹣2，设直线y＝mx﹣3（m≠0）与其立信抛物线y＝x2+2x+n的两个交点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），将y＝mx﹣3代入y＝x2+2x+n，得x2+（2﹣m）x+n+3＝0，∴x1+x2＝m﹣2，x1x2＝n+3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（m﹣2）2﹣4（n+3）＝m2，∴（y1﹣y2）2＝[（mx1﹣3）﹣（mx2﹣3）]2＝m2（x1﹣x2）2＝m4，根据题意，得：（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝（）2，∴m4+m2﹣2＝0，∴（m+1）（m﹣1）（m2+2）＝0，∵m2+2≠0，∴m＝1，n＝﹣3或m＝﹣1，n＝﹣1；（3）如图，设A（t，+1），B（r，+1），过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF于点E，过点B作BF⊥EF于点F，则∠AEC＝∠BFC＝90°，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠CAE＝∠BCF，∴△ACE∽△CBF，∴＝，∵C（0，1），∴E（t，1），F（r，1），∴AE＝t2，CE＝﹣t，BF＝，CF＝r，∴＝，∴tr＝﹣16，设直线AB的解析式为：y＝ex+f，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝（t+r）x+5，当x＝0时，y＝5，∴P（0，5），∴直线AB恒过定点P（0，5）．6．解：（1）∵A（2cos60°，﹣sin45°），∴A（1，﹣1），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，将B点坐标代入函数解析式，得：a（5﹣1）2﹣1＝3，解得：a＝．∴该抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣1；（2）如图1，过点A作EF∥x轴交y轴于E，过点B作BF∥y轴交EF于F，∵A（1，﹣1），B（5，3），∴AE＝OE＝1，AF＝BF＝4，∵∠AEO＝∠AFB＝90°，∴△AEO和△AFB均为等腰直角三角形，∴∠OAE＝∠BAF＝45°，OA＝，AB＝4，∴∠OAB＝180°﹣∠OAE﹣∠BAF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠AOB＝＝＝4，∴tan∠AOB＝4；（3）设M（a，b），N（a，0），当y＝0时，（x﹣1）2﹣1＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴D（3，0），∴DN＝3﹣a．①当△MND∽△OAB时，如图2，则＝，即，化简，得：4b＝3﹣a①，∵M在抛物线上，∴b＝（a﹣1）2﹣1②，联立①②，得，解得：a1＝3（不符合题意，舍），a2＝﹣2，b＝，M1（﹣2，），当△MND∽△BAO时，如图3，则＝，即＝，化简，得b＝12﹣4a③，联立②③，得：，解得：a1＝3（不符合题意，舍），a2＝﹣17，b＝12﹣4×（﹣17）＝80，M2（﹣17，80）．综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标为（﹣2，）或（﹣17，80）．7．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，2），点C（4，0），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）过点M作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，设直线AC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设M（a，﹣a2+a+2），且0＜a＜4，则N（a，a+2），∴MN＝﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）＝﹣a2+a，∴S△ACM＝MN•OC＝×（﹣a2+a）×4＝a2+2a＝﹣（a﹣2）2+2，∵＜0，∴当a＝2时，S△ACM取得最大值，S△ACM的最大值为2，此时，点M的坐标为（2，2）；（3）过点A'作A'E⊥x轴交于点E，①当P点在x轴正半轴上时，即m＞0时，如图2：当A'在抛物线上时，∵AP＝A'P，∵∠APA'＝90°，∴∠APO+∠A'PE＝90°，∵∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠A'PE，∴△AOP≌△PEA'（AAS），∴A'E＝OP，PE＝AO，∵AO＝2，∴PE＝2，∵P（m，0），∴A'（m+2，m），∵A'在抛物线y＝﹣x2+x+2上，∴m＝﹣（m+2）2+（m+2）+2，解得：m＝﹣3+或m＝﹣3﹣（舍）；如图3，当O'在抛物线上时，∵OA＝O'A'＝2，∴O'（m，m），∴m＝﹣m2+m+2，∴m＝2或m＝﹣4（舍）；∴﹣3+≤m≤2；②当P点在x轴负半轴上时，即m＜0时，如图4，当A'在抛物线上时，∵AP＝A'P，∵∠APA'＝90°，∴∠APO+∠A'PE＝90°，∵∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠A'PE，∴△AOP≌△PEA'（AAS），∴A'E＝OP，PE＝AO，∵AO＝2，∴PE＝2，∵P（m，0），∴A'（m+2，m），∵A'在抛物线y＝﹣x2+x+2上，∴m＝﹣（m+2）2+（m+2）+2，解得m＝﹣3+（舍）或m＝﹣3﹣；如图5，当O'在抛物线上时，∵OA＝O'A'＝2，∴O'（m，m），∴m＝﹣m2+m+2，∴m＝2（舍）或m＝﹣4；∴﹣3﹣≤m≤﹣4；综上所述：当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．8．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图所示，过点C作平行于x轴的直线，过点A作AM垂直于过点C平行于x轴的直线交这条直线于M，过点P作PN垂直于这条直线交这条直线于N，∴∠AMC＝∠CNP＝90°，∴∠ACM+∠CAM＝90°，∵AC⊥CP，即∠ACP＝90°，∴∠ACM+∠PCN＝90°，∴∠MAC＝∠NCP，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AM＝3，AO＝1，∴tan∠MAC＝tan∠NCP＝，∴CN＝3PN，设CN＝3PN＝3m，∴点P的坐标为（3m，﹣3+m），∴﹣3+m＝（3m）2﹣2×3m﹣3，解得m＝或m＝0（舍去），∴点P的坐标为（，﹣）；（3）如图，取点D（1，0），连接CD，在CD上取一点E，使得AE＝AD，连接AE，并延长交抛物线于点M，∵A（﹣1，0），点D关于y轴对称，∴AC＝DC，∠ACO＝∠DCO，∴∠ACD＝2∠ACO＝∠MAB，∠CAD＝∠CDA，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝∠CAD＝∠CDA，∴△CAD∽△AED，∴∠EAD＝∠ACD＝2∠ACO，设直线CD的解析式为y＝kx+b1，∴，∴，∴直线CD的解析式为y＝3x﹣3，设E（n，3n﹣3），∴AE2＝（n+1）2+（3n﹣3）2＝22，解得n＝或n＝1（舍去），∴E（），设直线AE的解析式为y＝k1x+b2，∴，∴，∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣，联立，得x2﹣＝0，解得x＝或x＝﹣1（舍去），∴M点的坐标为（，﹣），由对称性可知F点的坐标为（，）时，直线AF与抛物线的另一个交点也满足题意，同理可求出此时M点的坐标为（，），综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，）．9．解：（1）∵OB＝3OA＝3，∴OA＝1，OB＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，理由如下：令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设P（t，t2﹣2t﹣3），如图1，当∠PAC＝90°时，过点A作MN∥y轴，过点P作PN⊥MN于点N，过点C作MC⊥MN于点M，∴∠NAP+∠MAC＝90°，∵∠NAP+∠NPA＝90°，∴∠MAC＝∠NPA，∴△ANP∽△CMA，∴＝，∵A（﹣1，0），∴AN＝t2﹣2t﹣3，NP＝t+1，AM＝3，MC＝1，∴＝，∴t＝﹣1（舍）或t＝，∴P（，）；如图2，当∠ACP＝90°时，过点C作DE∥x轴，过点A作AD⊥DE交于D，过点P作PE⊥DE交于点E，∴∠ACD+∠PCE＝90°，∵∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠PCE＝∠DAC，∴△ACD∽△CPE，∴＝，∵AD＝3，CD＝1，CE＝t，PE＝t2﹣2t，∴＝，∴t＝0（舍）或t＝，∴P（，﹣）；综上所述：P点的坐标为（，）或（，﹣）；（3）过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，设D（m，m2﹣2m﹣3），E（p，p2﹣2p﹣3），联立方程组，整理得，x2﹣2x﹣kx﹣3﹣n＝0，∴m+p＝2+k，∵△ACD的内心落在x轴上，∴∠EAH＝∠HAD，∴tan∠EAH＝tan∠HAD，即＝，∴m+p＝6，∴2+k＝6，∴k＝4．10．解：（1）y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣3）2+．∴抛物线的顶点D（3，）．（2）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），令y＝0，则x＝﹣2或8，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴，解得．∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．（3）如图，过点E作y轴的平行线交BC于点F，设点E的横坐标为m，∴E（m，﹣m2+m+4），F（m，﹣m+4）．∴EF＝﹣m2+2m．∴S△BCE＝（xB﹣xC）•EF＝×（8﹣0）×（﹣m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16．∴当m＝4时，S△BCE的最大值为16．（4）相切，理由如下：∵C（0，4），D（3，）．∴直线CD的解析式为：y＝x+4．设直线CD与x轴交于点G，连接DM，CM，∴G（﹣，0），∵点M为AB中点，∴M（3，0），且DM⊥AB，∴∠DMG＝90°，AM＝BM＝5．∴CD＝，DG＝，DM＝，∴CD：DM＝DM：DG＝3：5，∵∠CDM＝∠MDG，∴△DCM∽△DMG，∴∠DCM＝∠DMG＝90°，∴点M到CD的距离即为CM的长，∴CM＝5＝AM．∴直线CD与⊙M相切．11．（1）证明：令y＝mx2﹣3mx﹣18m＝0，∵Δ＝（3m）2﹣4m•（﹣18m）＝81m2＞0（m≠0），∴方程mx2﹣3mx﹣18m＝0有两个不相等的根，即抛物线与x轴总有两个交点；∵m（x﹣6）（x+3）＝0，∴x＝6或x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（6，0）．（2）将点C（1，5）的坐标代入解析式y＝mx2﹣3mx﹣18m，∴m﹣3m﹣18m＝5，解得m＝﹣．∴y＝﹣x2+x+．令x＝5，则y＝﹣×52+×5+＝2．∴D（5，2），∴CD＝5，由（1）知A（﹣3，0），B（6，0）．∵点P是线段AB上的点．且有，∴设点P的横坐标为t，则（t+3）：（6﹣t）＝3：5，解得t＝，∴P（，0），∴PC＝，PD＝，∴PC＝PD，∴△PCD是等腰三角形且PC＝PD．（3）存在，理由如下：如图，过点O作CD的平行线分别与抛物线交于点Q1，Q2，则S△Q1CD＝S△Q2CD＝S△OCD，设直线CD的解析式为：y＝kx+b，∵C（1，5），D（5，2），∴，解得．∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+．∴直线OQ1的解析式为：y＝﹣x，令y＝﹣x2+x+＝﹣x，解得x＝3+3或x＝3﹣3．∴点Q的坐标为：（3+3，﹣﹣）或（3﹣3，﹣+）．12．解：（1）将点（1，c﹣3）代入抛物线解析式y＝x2+bx+c，∴1+b+c＝c﹣3，解得b＝﹣4．（2）由（1）知抛物线C1：y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，∴将抛物线C1向右平移1个单位，得到抛物线C2：y＝（x﹣3）2+c﹣4，∴抛物线C2的顶点为（3，c﹣4），∵抛物线C2的顶点在直线y＝x+1上，∴3+1＝c﹣4，解得c＝8，∴抛物线C2：y＝（x﹣3）2+8﹣4＝x2﹣6x+13．（3）能，理由如下：由（2）知抛物线C1的顶点为P（2，c﹣4），将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C3：y＝﹣（x﹣2）2﹣c+4，∴抛物线C3的顶点为Q（2，﹣c+4），∴PQ＝2|c﹣4|．令（x﹣2）2+c﹣4＝﹣（x﹣2）2﹣c+4，整理得x2﹣4x+c＝0，∴16﹣4c＞0，∴c＜4，∴xA+xB＝4，xA•xB＝c，∴AB＝xB﹣xA＝＝，由抛物线的对称性可知，PQ⊥AB，且PQ与AB互相平分，∴四边形APBQ是菱形，若菱形APBQ是正方形，只需AB＝PQ，∴＝2|c﹣4|，解得c＝4或c＝3，∴c＝3．∴能，当c＝3时，四边形APBQ是正方形．13．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过P点作PH∥y轴交BC于点H，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，设P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），∴PH＝﹣t2+3t，∵C（0，3），B（3，0），∴BC＝3，∴S△PBC＝×BC×PG＝×BO×PH，∴PG×3＝3（﹣t2+3t），∴PG＝﹣（t﹣）+，∵点P是直线BC上方抛物线上，∴0＜t＜3，∴当t＝时，PG有最大值；（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴D（1，0），作D点关于直线BC的对称点F，交BC于点E，连接CF，过点F作x轴的垂线交于点H，∴∠DCB＝∠FCB，∵∠PCB＝∠DCB，∴∠FCB＝∠PCB，∴F在直线CP上，∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∴DE＝BE，∵BD＝2，∴DE＝，∴DF＝2，∵∠EDB＝45°，∴FH＝DH＝2，∴H点与B点重合，∴F（3，2），设直线CF的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+3，联立方程组，解得或（舍），∴P（，）；（4）存在点M和点N，使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：设M（m，﹣m+3），N（x，y），D（1，0），C（0，3），①当CD为菱形对角线时，CM＝DM，∴m2+m2＝（m﹣1）2+（m﹣3）2，解得m＝，∴M（，）；②当DM为菱形对角线时，CD＝CM，∴10＝m2+m2，解得m＝±，∴M（，3﹣）或（﹣，3+）；③当CM为菱形对角线时，DM＝CD，∴10＝（m﹣1）2+（m﹣3）2，解得m＝4或m＝0（舍），∴M（4，﹣1）；综上所述：M点的坐标为（，）或（，3﹣）或（﹣，3+）或（4，﹣1）．14．解：（1）∵抛物线的顶点为M（0，4），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，将点N（﹣4，0）代入y＝ax2+4，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+4；（2）PE﹣PF的值不改变，理由如下：∵边长为5的正方形OABC的两边在坐标轴上，∴A（5，0），C（0，5），B（5，5），设P（t，﹣t2+4），∵PF⊥BC，∴F（t，5），∴PF＝5+t2﹣4＝t2+1，∵E（0，3），∴PE＝＝t2+1，∴PE﹣PF＝0，∴PE﹣PF的值不变，始终是0；（3）①∵PE＝PF，∠EPF＝60°，∴△PEF是等边三角形，∴EF＝PE，∴＝t2+1，解得t2＝12，∴t＝±2，∵P点在第一象限内，∴t＝2，∴P（2，1）；②当△PEF沿y轴向上平移时，E点平移到M点的过程中，抛物线与△PEF的边始终有两个交点，∵M（0，4），E（0，3），∴1≤n≤2；当△PEF沿y轴向下平移时，当F点平移到P点的过程中，抛物线与△PEF的边始终有两个交点，∵F（2，1），∴﹣3＜n＜1；综上所述：当﹣3＜n≤2时，抛物线与△PEF的边始终有两个交点．15．解：（1）∵A（0，），C（1，0），D（1，），∴AC＝2，OD＝2，∴平行四边形AOCD是矩形；（2）设y＝ax2+bx+c，将A（0，），B（﹣，），D（1，）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+；（3）如图1，当C1，D1在抛物线上时，∵A（0，），C（1，0），D（1，），∴AD＝1，CD＝，∵AD⊥CD，∴A1D1⊥D1C1，∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴D1的横坐标为+，∴﹣×（+）2+×（+）+＝，∴D1（+，），∴A1（+，+）；如图2，当C1，A1在抛物线上时，设C1（m，﹣m2+m+），则D1（m+，﹣m2+m+），A1（m+，﹣m2+m++1），∴﹣m2+m++1＝﹣（m+﹣）2+，解得m＝﹣+，∴A1（+，+）；综上所述：A1点的坐标为（+，+）或（+，+）．16．解：（1）当m＝﹣2时，y＝x2+4x﹣8，∴y＝x2+4x﹣8＝（x+2）2﹣12，∵x≤﹣4，∴当x＝﹣4时，y＝﹣8，∴图象G最低点的坐标（﹣4，﹣8）；（2）∵y＝x2﹣2mx+4m＝（x﹣m）2﹣m2+4m，∴抛物线的对称轴为直线x＝m，令y＝0，则x2﹣2mx+4m＝0，∴Δ＝4m2﹣16m＝0，∴m＝0或m＝4，当m≤0时，2m≤m，∴图象G与x轴始终有一个公共点，当m＝4时，图象G与x轴只有一个公共点，当m＞4时，2m＞m，图象G与x轴始终有两个公共点；当0＜m＜4时，Δ＜0，此时图象G与x轴无公共点；综上所述：m≤0或m＝4时，图象G与x轴只有一个公共点；（3）∵图象G的最低点到直线y＝2的距离为3，∴图象G的最低点的纵坐标为﹣1或5，当m＜0时，m＞2m，此时当x＝2m时，y＝4m，此时最低点的纵坐标为4m，∴4m＝﹣1，∴m＝﹣；当m＞0时，2m＞m，∴当x＝m时，y＝4m﹣m2，此时最低点的纵坐标为4m﹣m2，∴4m﹣m2＝﹣1或4m﹣m2＝5，解得m＝2+或m＝2﹣（舍）；综上所述：m的值为﹣或2+；（4）∵点A在图象G上，∴图象G与矩形ABCD一定有一个公共点，∵图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，∴只需图象G与矩形ABCD的边再由一个公共点即可；∵点A的横坐标为2m，∴A（2m，4m），当x＝﹣2时，y＝4+8m，当4+8m＝4m时，m＝﹣1，如图1，当m＜﹣1时，图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小，∴矩形与图象G只有一个交点A；当﹣1＜m≤0时，图象G与矩形有两个交点；当4m＝3时，m＝，如图3，当0＜m＜时，2m＞m，∴图象G与矩形ABCD有三个交点；当y＝3时，x2﹣2mx+4m＝3，整理得，x2﹣2mx+4m﹣3＝0，∴Δ＝4m2﹣16m+12＝0，∴m＝1或m＝3，此时图象G与BC边有一个交点，如图4，当＜m≤1时，图象G与矩形有三个交点；如图5，当1＜m＜3时，图象G与矩形有两个交点；当m＝3时，图象G与矩形有三个交点；当m＞3时，图象G与矩形有四个交点；综上所述：﹣1＜m≤0或1＜m＜3时，图象G与矩形ABCD有两个交点．17．解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，得a+b+4＝0，∵对称轴为直线x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣5a，∴a﹣5a+4＝0，∴a＝1，∴b＝﹣5，∴y＝x2﹣5x+4；（2）四边形OCMN是平行四边形，理由如下：令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），令y＝0，则x2﹣5x+4＝0，∴x＝4或x＝1，∴A（1，0），B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝﹣x+4，设M（t，﹣t+4），则N（t，t2﹣5t+4），∴MN＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，MN的长度最大，∴M（2，2），N（2，﹣2），∴MN＝4，ON＝2，∵CO＝4，∴四边形OCMN是平行四边形；（3）存在点F，使得△BEF为等腰三角形，理由如下：过点N作x轴的垂线，过点N作NQ⊥y轴交于点Q，过点E作y轴的垂线EP，∵PN∥y轴，∴∠ODN＝∠PND，∵∠DNE＝2∠ODN，∴∠PNE＝∠ODN，∵C（0，4），D是OC的中点，∴D（0，2），∵N（2，﹣2）∴tan∠ODN＝＝，∴＝，设E（m，m2﹣5m+4），∴＝，解得m＝2（舍）或m＝5，∴E（5，4），∴BE＝，设F（0，y），①当BF＝BE时，＝，∴y＝±1，∴F（0，1）或（0，﹣1）；②当EF＝BE时，＝，此时y无解；③当BF＝EF时，BE的中点T（，2），∴BF＝＝，∴y＝，∴F（0，）．综上所述：点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．18．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，∴，∴，∴y＝x2﹣2x﹣3，故答案为：﹣2，﹣3；（2）延长DE交x轴于点K，延长GF交ED于点H，令