(03)第3章-用统计量描述数据(T6)

2016-5-11

一些人使用统计就像喝醉酒的人使用街灯柱—支撑的功能多于照明。

——AndrewLang

统计名言第3章用统计量描述数据3.1

水平的度量3.2差异的度量3.3分布形状的度量Statistic2016-5-11学习目标度量水平的统计量度量差异的统计量度量分布形状的统计量各统计量的的特点及应用场合用Excel和SPSS计算描述统计量2016-5-11哪名运发动的发挥更稳定?在奥运会女子10米气手枪比赛中，每个运发动首先进行每组10抢共4组的预赛，然后根据预赛总成绩确定进入决赛的8名运发动。决赛时8名运发动再进行10枪射击，再将预赛成绩加上决赛成绩确定最后的名次在2008年8月10日举行的第29届北京奥运会女子10米气手枪决赛中，进入决赛的8名运发动的预赛成绩和最后10枪的决赛成绩如下表2016-5-11哪名运发动的发挥更稳定?最会的比赛结果是，中国运发动郭文珺凭借决赛的稳定发挥，以总成绩492.3环夺得金牌，预赛排在第1名的俄罗斯运发动纳塔利娅·帕杰林娜以总成绩498.1环获得银牌，预赛排在第4名的格鲁吉亚运发动妮诺·萨卢克瓦泽以总成绩487.4环的成绩获得铜牌，而预赛排在第3名的蒙古运发动卓格巴德拉赫·蒙赫珠勒仅以479.6环的成绩名列第8名由此可见，在射击比赛中，运发动能否取得好的成绩，发挥的稳定性至关重要。那么，怎样评价一名运发动的发挥是否稳定呢？通过本章内容的学习就能很容易答复这样的问题3.1水平的度量

3.1.1平均数

3.1.2中位数和分位数

3.1.3用哪个值代表一组数据？第3章用统计量描述数据3.1.1平均数3.1水平的度量2016-5-11

x

x平均数

(mean)也称为均值，常用的统计量之一消除了观测值的随机波动易受极端值的影响根据总体数据计算的，称为平均数，记为

；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为

x2016-5-11简单算数平均

(Simplemean)设一组数据为：x1，x2，…，xn(总体数据xN)样本平均数总体平均数统计函数—AVERAGEExcel2016-5-11加权平均数

(Weightedmean)设各组的组中值为：M1，M2，…，Mk

相应的频数为：

f1，f2，…，fk样本加权平均：总体加权平均：2016-5-11加权平均数

(例题分析)

某电脑公司销售额数据分组表按销售额分组组中值(Mi)频数(fi)Mifi

140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合计—120222002016-5-11加权平均数

(权数对均值的影响)【例】甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下甲组：考试成绩〔x〕: 020100人数分布〔f〕：118乙组：考试成绩〔x〕: 020100人数分布〔f〕：8113.1.2中位数和分位数3.1水平的度量2016-5-11中位数

(median)排序后处于中间位置上的值。不受极端值影响Me50%50%2.

位置确定3.

数值确定2016-5-11中位数的计算

(数据个数为奇数)【例3-3】9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630

排序:7507808509601080

1250

150016302000

位置:123456789中位数

1080

2016-5-11中位数的计算

(数据个数为偶数)【例3-3】10个家庭的人均月收入数据排序:

750780850960

1080

12501500163020002800

位置:1234

5678910

统计函数—MEDIANExcel2016-5-11四分位数—用3个点等分数据

(quartile)排序后处于25%和75%位置上的值不受极端值的影响QLQMQU25%25%25%25%2016-5-11四分位数的计算

(位置确实定)方法2：较准确算法(SPSS的算法)方法1：定义算法2016-5-11四分位数的计算

(位置确实定)方法3：

其中[]表示中位数的位置取整。这样计算出的四分位数的位置，要么是整数，要么在两个数之间0.5的位置上方法4：Excel给出的四分位数位置确实定方法

如果位置不是整数，那么按比例分摊位置两侧数值的差值2016-5-11四分位数的计算

(数据个数为奇数)【例3-4】9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算)

原始数据:15007507801080850960200012501630

排序:75078085096010801250150016302000

位置:1234

5

6

7

89

方法1—定义公式2016-5-11四分位数的计算

(数据个数为奇数)【例3-4】9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630

排序:75078085096010801250150016302000

位置:1234

5

6789

方法2—SPSS公式2016-5-11四分位数的计算

(数据个数为奇数)【例3-4】9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630

排序:75078085096010801250150016302000

位置:12

3

4

5

67

89

方法4—Excel公式统计函数—QUARTILEExcel2016-5-11众数

(mode)一组数据中出现次数最多的变量值适合于数据量较多时使用不受极端值的影响一组数据可能没有众数或有几个众数mo统计函数—MODEExcel3.1.3用哪个值代表一组数据？3.1水平的度量2016-5-11众数、中位数和平均数的关系左偏分布均值

中位数

众数对称分布

均值=

中位数=

众数右偏分布众数

中位数均值2016-5-11众数、中位数、平均数的特点和应用平均数易受极端值影响数学性质优良，实际中最常用数据对称分布或接近对称分布时代表性较好中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时代表性接好众数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时代表性较好3.2差异的度量3.2.1极差和四分位差3.2.2方差和标准差3.2.3比较几组数据的离散程度：离散系数第3章用统计量描述数据2016-5-11怎样评价水平代表值？假定有两个地区每人的平均收入数据，其中甲地区的平均收入为5000元，乙地区的平均收入为3000元。你如何评价两个地区的收入状况？如果平均收入的多少代表了该地区的生活水平，你能否认为甲地区的平均生活水平就高于乙地区呢？要答复这些问题，首先需要搞清楚这里的平均收入是否能代表大多数人的收入水平。如果甲地区有少数几个富翁，而大多数人的收入都很低，虽然平均收入很高，但多数人生活水平仍然很低。相反，乙地区多数人的收入水平都在3000元左右，虽然平均收入看上去不如甲地区，但多数人的生活水平却比甲地区高，原因是甲地区的收入差距大于乙地区2016-5-11怎样评价水平代表值？

仅仅知道数据的水平是远远不够的，还必须考虑数据之间的差距有多大。数据之间的差距用统计语言来说就是数据的离散程度。数据的离散程度越大，各描述统计量对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越甲乙3.2.1极差和四分位差3.2差异的度量2016-5-11极差

(range)一组数据的最大值与最小值之差离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布计算公式为：R=max(xi)-min(xi)2016-5-11四分位差

(quartiledeviation)也称为内距或四分间距上四分位数与下四分位数之差：Qd=QU

–QL反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性25%75%3.2.2方差和标准差3.2差异的度量2016-5-11方差和标准差

(varianceandstandarddeviation)数据离散程度的最常用测度值反映各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)，记为

2()；根据样本数据计算的，称为样本方差(标准差)，记为s2(s)2016-5-11样本方差和标准差

(samplevarianceandstandarddeviation)未分组数据组距分组数据未分组数据组距分组数据方差的计算公式标准差的计算公式2016-5-11总体方差和标准差

(PopulationvarianceandStandarddeviation)未分组数据组距分组数据未分组数据组距分组数据方差的计算公式标准差的计算公式2016-5-11自由度

(degreeoffreedom)自由度的概念由统计学家R.AFisher提出指数据个数与附加给独立的观测值的约束或限制的个数之差字面涵义看，是指一组数据中可以自由取值的个数当样本数据的个数为n时，假设样本平均数确定后，那么附加给n个观测值的约束个数就是1个，因此只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值按着这一逻辑，如果对n个观测值附加的约束个数为k个，自由度那么为n-k2016-5-11自由度

(degreeoffreedom)样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，那么x=5。当x=5确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个那么不能自由取值，比方x1=6，x2=7，那么x3那么必然取2，而不能取其他值为什么样本方差的自由度为什么是n-1呢？因为在计算离差平方和时，必须先求出样本均值x，而x那么是附件给离差平方和的一个约束，因此，计算离差平方和时只有n-1个独立的观测值，而不是n个样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方差σ2时，它是σ2的无偏估计量2016-5-11样本标准差

(例题分析)【例3-5】计算计算9名员工的月工资收入的方差和标准差

15007507801080850960200012501630方差标准差统计函数—STDEVExcel2016-5-11标准分数

(standardscore)1.也称标准化值2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量3. 可用于判断一组数据是否有离群点(outlier)用于对变量的标准化处理均值等于0，方差等于1计算公式为2016-5-11标准分数

(用于数据变换)z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是使该组数据均值为0，标准差为1

2016-5-11用SPSS对数据进行标准化第1步：选择【分析】下拉菜单，并选择

【描述统计—描述】第2步：在主对话框中将变量选入【变量】，然后选中【将标准化得分另存为变量】。点击【OK】(SPSS会将标准化后的变量以“Z”开头存放在原始变量工作表中)

对数据标准化SPSS2016-5-11标准分数

(例题分析)【例3-6】9个家庭人均月收入标准化值计算表

家庭编号人均月收入（元）标准化值z

123456789150075078010808509602000125016300.695-1.042-0.973-0.278-0.811-0.5561.8530.1160.9962016-5-11经验法那么经验法那么说明：当一组数据对称分布时约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内2016-5-11经验法那么

(例题分析)9名员工月工资收入的经验法那么2016-5-11切比雪夫不等式

(Chebyshev’sinequality)如果一组数据不是对称分布，经验法那么就不再适用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的数据落在平均数加减k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数2016-5-11切比雪夫不等式

(Chebyshev’sinequality)

对于k=2，3，4，该不等式的含义是至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内3.2.3比较几组数据的离散程度

离散系数3.2差异的度量2016-5-11离散系数

(coefficientofvariation)1. 标准差与其相应的均值之比对数据相对离散程度的测度消除了数据水平上下和计量单位的影响4. 用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为2016-5-11离散系数

(例题分析)【例3-7】评价哪名运发动的发挥更稳定发挥比较稳定的运发动是塞尔维亚的亚斯娜·舍卡里奇和中国的郭文珺，发挥不稳定的运发动蒙古的卓格巴德拉赫·蒙赫珠勒和波兰的莱万多夫斯卡·萨贡2016-5-118名运发动射击成绩的误差图

(例题分析)【例子】3.3分布形状的度量偏态与峰态第3章用统计量描述数据2016-5-