共线向量与共面向量

共线向量与共面向量宣汉县第二中学主讲者杜林课件说案5/8/20241共线向量与共面向量.一、回忆引入1，空间向量：具有大小，方向的量；

（向量两要素）2，相等向量：根据向量的两要素判定几个向量是否相等；也叫同一向量。长方体及平行六面体中有一些相等向量3，运算律：加法交换律（点乘也适用）

即：

·

=·加法结合律（点乘不适用）数乘分配律(点乘分配律也适用)即：·(±)=·±·

5/8/20242共线向量与共面向量.二、有关概念：1，共线向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或为平行向量(说明：平行向量与直线的平行是有区别的)

符号：“∥”例如：右图中三线段互相平行，则有：∥∥读作：,,是共线向量。2，对共线向量的理解：

（1）提问：你能想到空间内的共线向量所在直线的位置关系有哪些？（2）注重平面内的共线向量向空间内的共线向量转化：主要是直线位置摆放的变化（怎么认识？）5/8/20243共线向量与共面向量.问题提示：

（1）观察图示：

图1

图2

图1中：共线向量所在直线互相平行；

图2中：与是共线向量，它们所在直线重合。

(性质：共线向量的方向：相同或相反)

（2）说出图3长方体中：共线向量有哪些？例：与成共线向量所在的棱有：CD，A1B1，C1D1与成共线向量所在的对角线有：

（3）理解：与任意向量成共线向量。

AABCDA1

B1

C1

D1

图3·ACBB1D15/8/20244共线向量与共面向量.三、共线向量定理：1，TH内容：对空间任意两个向量，（≠），有：∥存在实数λ（λ∈R），使得：=λ成立.证明：∵∥即、为共线向量∴与方向要么相同，要么相反不妨取：││∶││=μ∴方向相同时：=μ=λ方向相反时：=－μ=λ若=λ（λ∈R）成立则：由数乘向量定义知，与共线

λ>0；λ=0时，与任意向量共线λ<05/8/20245共线向量与共面向量.2，判定两向量共线的方法有：共线向量定义及定理（共两种方法），要素为：定义：线段平行或重合；

定理：一向量是另一向量的λ倍。3，作用：可判定多点共线；直线平行等。

推论：点A∈l，l平行于向量(≠)所在直线，有：点P在直线l上存在实数t，使得：=+t(其中点O为空间任意一点)分析：=+t可转化为：－=t即为：=t

翻译为：点P在直线l上=t证明：（易）OAPl5/8/20246共线向量与共面向量.推论：点A∈l，l平行于向量(≠)所在直线，有：

点P在直线l上存在实数t，使得：

=+t(其中点O为空间任意一点)证明：∵点P在直线l上，而l平行于所在线∴线AP=线l（A∈l）∴∥即有：=t(t∈R)而=－∴=+t(点O为空间任一点)以上证明过程可逆（到=t时，有：AP与所在线重合或平行）（过线外一点仅一条线与已知线平行）

OAPl5/8/20247共线向量与共面向量.练习1：如图网格中，定出点P、Q、R、S，以满足：（1）=+2+2作向量：2+2（2）=－3－2作向量：3+2（3）=+3－2作向量：3－2（4）=+2－3作向量：2－3规律：①保持向量不动；②平移后两式运算结果的向量，以满足加法或减法ABCPQRSO5/8/20248共线向量与共面向量.练习2，（1）下列正确的命题是（）A若与共线，与共线，则与共线B当=t时，则和所在线确定一个面C零向量没有确定的方向D若//时，则存在唯一数λ，使得=λ（2）空间四边形OABC中，点E在线段OA上，点F为BC中点，OE=2EA，若=，=，=；则用、、表示为（3）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，则:、、是（）A有相同起点的向量；B等长的向量C可以放到同一个平面的向量D不能放入同一个平面的向量OABCEFABCDC1B1D1A1CD5/8/20249共线向量与共面向量.作业(第一课时)：1，课本9.5节第1题2，同步练习相应题型5/8/202410共线向量与共面向量.四，回忆引入：1，作业中的问题：有的学生作业中不画图；有的过程较略或者只有答案（仅少数）；讲评后的作业没有更正。2，共线定理：∥存在实数λ（λ∈R），使得：=λ成立（≠）

推论：点A∈l，l平行于向量(≠)所在直线，有：点P在直线l上存在实数t，使得：=+t(其中点O为空间任意一点)

3，定理及推论作用：可证明多点共线，判定线平行，向量共线,线段中点等。

OAPL5/8/202411共线向量与共面向量.五，共面向量：1，观察图示：注意向量所在线与平面位置关系

图示1中：所在线a//面α；所在线b

面α图示2中：所在线b

面β;、所在线c、m∥β提问：这儿、、、与相应平面满足什么关系呢？记作：∥面α，∥面α；、∥β，∥β2，定义：平行于同一平面的向量叫共面向量。（共面向量是针对多个向量来说的）上图2中，、、是一组共面向量；当然图1中也是。提问：对“平行”是怎么理解的？α图1β图2平行5/8/202412共线向量与共面向量.3，“平行”意义：

向量与面平行要素：向量所在线与面平行或在面内例：ABCD为

,点E、F为线段OA、OB中点，有：∥面AC，∥面BD

4，“共面向量”理解：要素为：①针对多个向量来谈（任意两个向量是共面向量）；②这多个向量都平行于同一个面（这个面要去找）例：右图平行六面体中，找出共面向量

是共面向量；是共面向量；是共面向量。ABCDC1B1D1A1ABCDOEF5/8/202413共线向量与共面向量.六，共面向量定理：1，TH内容：两向量、不共线，有：与、共面存在实数x、y，满足：=x+y证明：∵是共面向量

∴可把向量有向线段起点移到一起,补全为平行四边形

∴由平面向量基本定理有：存在x、y∈R,满足=x+y

∵存在x、y∈R，使得：=x+y∴不妨作=x，=y；补全为平行四边形，有：=∴由MACB表示面，即有：∥面AB∴是共面向量。MABC5/8/202414共线向量与共面向量.2，判定三个向量共面方法：共面向量定义和定理（两种判定方法），要素为：定义法：这多个向量与同一平面平行；

定理判定：一向量是另外两个向量的线性组合3，作用：判定向量、四点共面，向量间计算等

推论：点P在面MAB内存在x、y∈R，满足：=x+y或=+x+y(O为任一点)分析：点P已在平面MAB内，必有在同一面内

（还有在同一面内）

则：一个是另外两个的线性组合=x+y成立由共面向量定义及有公共点M即证MABP5/8/202415共线向量与共面向量.七，应用：例：对空间任一点O和不共线三点A、B、C，在满足关系式：=x+y+z时，四点P,A,B,C是否共面？（其中：x+y+z=1）解：∵x+y+z=1∴=x+y+z=x+y+（1－x－y）∴－=x(－)+y(－)∴=x+y∴点C在面PAB内，即：四点P,A,B,C是共面的。

规律：1，四向量有共同的起点2，一向量是另三向量的线性组合，且系数和为1结论：除共同的起点外，其余四点共面。七，应用：5/8/202416共线向量与共面向量.例：已知：从

ABCD外一点O引向量：=k=k，=k，=k求证：（1）四点E、F、G、H共面；（2）面BD∥面FH证明：（1）由平行四边形有：=－=k－k=k=k(+)=k(－+－)=－+－即=+所以，点E、F、G、H共面。OABCDEFGH注重方法5/8/202417共线向量与共面向量.证明：（2）想一想两平面平行的判定方法（两相交线与面平行或两组相交线对应平行）∵=－=k－k∴=k即与是共线向量而A∈线EF∴AB∥EF(而不重合)∵=－=k－k∴=k即与是共线向量而且F∈线BC∴FG∥BC(并不重合)∵AB与BC相交，EF与FG相交∴面BD∥面FHOABCDEFGH5/8/202418共线向量与共面向量.练习：1，点A、B、C不共线，点O在面ABC外，在下列条件下，点M,A,B,C是否共面？（1）=（++）解：由+