参数曲线市公开课特等奖市赛课微课一等奖课件

§1.1参数曲线第1页一．E3中参数化曲线定义则其位置向量终点全体C

{(x(t),y(t),z(t))

E3

t

(a,b)}称为E3中一条

Ck类参数化曲线，简称参数曲线，并将t称为C

参数；C可用其向量形式参数方程表示为r=r(t),t

(a,b)，或写为分量形式参数方程在E3中Descartes直角坐标系O-xyz下，取单位正交向量i

,

j

,

k为基向量．给定三个函数x(t),y(t),z(t)

Ck((a,b))，作向量值函数

r:(a,b)

E3

t

r(t)

x(t)i

+

y(t)j

+

z(t)k

(x(t),y(t),z(t))，第2页一．E3中参数化曲线定义给定x(t),y(t),z(t)

Ck((a,b))，则C

{(x(t),y(t),z(t))

E3

t

(a,b)}称为E3中一条Ck类参数化曲线，简称参数曲线，并将t称为C

参数；可用其参数方程表示．参数曲线C上对应于参数值t

点是指向径r(t)

OP(t)终点P(t)，即空间中点(x(t),y(t),z(t))

E3，表示为实点

P(t)或向量值

r(t)或参数值

t．C0类参数曲线也称为连续曲线，C

类参数曲线也称为光滑曲线．约定：因为本课程之中微积分工具使用广泛性，为简便起见，以后不申明时在局部总考虑C3类参数曲线，并简称为曲线．第3页一．E3中参数化曲线定义给定x(t),y(t),z(t)

Ck((a,b))，则C

{(x(t),y(t),z(t))

E3

t

(a,b)}称为E3中一条Ck类参数化曲线，简称参数曲线，并将t称为C

参数；可用其参数方程表示．参数曲线上对应于参数值t

点是指向径r(t)

OP(t)终点P(t)，即空间中点(x(t),y(t),z(t))

E3，表示为实点

P(t)或向量值

r(t)或参数值

t．连续曲线，光滑曲线．不申明时在局部总考虑C3类参数曲线，并简称为曲线．在数学分析或者解析几何课程中所接触到曲线，要么其本身就是参数化，要么总能够进行适当局部参数化．第4页二．正则曲线参数曲线行为复杂性需要得到注意．对所考虑曲线做出必要限制是合理．定义1给定参数曲线C:r

r(t),t

(a,b)．若r

(t0)

0，则称t

t0对应点r(t0)为C一个奇（异）点；

若r

(t0)

0，则称t

t0对应点r(t0)为C一个正则点．

若C之上点点正则，则称C为正则曲线，并称参数t为正则参数．视参数曲线为动点轨迹，正则点几何意义则是当参数在该点处作微小变动时动点位置同时作真正变动．第5页二．正则曲线例2若参数曲线C:r

r(t)

a

=const.,t

R

，则其几何图形仅仅表示一点，而不是正常曲线；此时全部参数值对应于图形实体同一点．这是非正则曲线极端例子．例3圆柱螺线视为动点轨迹，通常参数化为r(t)

(acos(w

t),asin(w

t),v

t),t

R，其中三个常数a

0,w

0和v

0分别为动点运动圆周半径、角速率和向上速率．此时r

(t)

(

awsin(wt),awcos(wt),v)

0，说明该参数化使之成为正则曲线．第6页二．正则曲线例4半立方抛物线光滑参数化为r(t)

(t3,t2,0),t

R，则r

(t)

(3t2,2t,0)，故此时其奇点有且仅有一个：r(0)．例5按定义直接计算导向量，易知例１中各条参数曲线都是正则．但单位圆周含有存在奇点以下参数化：

r(t)

(cost2,sint2,0),t

R．第7页二．正则曲线普通地，存在奇点参数曲线在奇点附近性质需要单独加以讨论，且奇点若对应于参数一个区间则等价于对应参数一个点；而对于连续可微参数曲线，正则点附近总存在较小弧段使正则性得到满足，

这是因为导向量函数模长含有连续性．正则曲线足以作为曲线局部主体．所以，将曲线论局部基本理论建立在正则曲线之上是含有普通性，正则曲线意义还在于能够方便地确定曲线所谓切线．设曲线C:r

r(t),t

(a,b)正则，考虑过点r(t0)和r(t0

t)割线当

t

0时极限位置，亦即切线位置．第8页二．正则曲线正则曲线足以作为曲线局部主体．正则曲线意义还在于能够方便地确定曲线切线．设

C:r

r(t),t

(a,b)正则，考虑过点r(t0)和r(t0

t)割线当

t

0时极限位置，亦即切线位置．

而正则性确保r

(t0)

0，故C在切点r(t0)处切线方向向量确定为r

(t0)，该切线向量形式参数方程为：向径

f(u)

r(t0)

ur

(t0),u

R．第9页二．正则曲线正则曲线足以作为曲线局部主体．正则曲线意义还在于能够方便地确定曲线切线．设曲线C:r

r(t),t

(a,b)正则，曲线C在切点r(t0)处切线方向向量确定为r

(t0)．

定义2称单位切向量

r

(t0)/r

(t0)

为正则曲线C:r

r(t)在切点r(t0)处单位切向，记为

T(t0)

；称单位切向指向为正则曲线正向．第10页二．正则曲线正则曲线足以作为曲线局部主体．定义2称单位切向量

r

(t0)/r

(t0)为正则曲线

C:r

r(t)在切点r(t0)处单位切向，记为T(t0)；称单位切向指向为正则曲线正向．正则曲线正向即为当参数增加时位置向量终点走向．正则曲线是有向曲线．例6半径为a>0圆周有向参数化.

若参数化为r(t)=(acost,asint,0),t

R，则其单位切向计算过程为

r

(t)

(

asint,acost,0)，

r

(t)

a，r

(t)/r

(t)(

sint,cost,0)．此时，其正向为xOy坐标平面上逆时针方向．第11页二．正则曲线正则曲线足以作为曲线局部主体．单位切向

T(t0)；正向即为当参数增加时位置向量终点走向．正则曲线是有向曲线．例6半径为

a>0圆周有向参数化.若

r(t)=(acost,asint,0),t

R，则

T(t)

(

sint,cost,0)．其正向为

xOy坐标平面上逆时针方向．

r*(t*)

(acost*,

asint*,0),t*

R是另外一个参数化，其正向为xOy坐标平面上顺时针方向，与前者恰好相反．令函数t

t(t*)

t*，则上述两种参数化关系用复合函数关系表示为r*(t*)

r(

t*)

r(t(t*))．使用自变量代换语言来说，上述关系实质上是一个参数变换．第12页二．正则曲线定义3给定正则曲线C:r

r(t)，若参数变换t

t(u)满足①t(u)是C3阶；②t

(u)处处非零，则称之为允许参数变换；且当t

(u)

0时称之为保向，

当t

(u)

0时称之为反向．允许参数变换只有保向或反向两种；这只要注意到t

(u)处处非零蕴含着恒正或恒负即得．允许参数变换保持正则性和可微性不变；这只要注意到复合求导关系即得．例6中所给定参数变换是允许反向参数变换．例6与例5参数化之间不存在允许参数变换．第13页三．曲线等价一个曲线点集实体允许存在许各种参数化方式，不一样参数表示之间对应有参数变换．曲线实体几何属性是不依赖于其参数化方式，当然也不依赖于空间直角坐标系选取.因而，不但认为两个协议曲线实体是同一曲线实体不一样位置表现形式，还能够对参数曲线进行适当分类，使得表示同一曲线实体不一样参数曲线是等价．若两条正则曲线之间仅仅相差一个允许参数变换，则称这两条正则曲线是相同正则曲线．若相差一个保向允许参数变换，则称这两条曲线是相同有向正则曲线；若相差一个反向允许参数变换，则称这两条曲线是方向相反有向正则曲线．第14页三．曲线等价有向正则曲线单位切向对于每一个参数值都是唯一确定，对应切线或有向切线也有意义；对于曲线实体，其切线行为并没有如此简单．观察下例．例7

E3中参数曲线

C:r(t)=(sin3tcost,sin3tsint,0),t

R

点集实体是平面上一条三叶玫瑰线．在参数一个最小正周期[0,

)内，三个参数值对应于曲线实体上同一个点O．点O处有向切线有三条．定义4若E3中一条参数曲线C:r

=r(t)在定义域开区间之上为单值映射，则称C是简单或是不自相交；不然称C