河南省周口市新光明中学高三数学理期末试题含解析

河南省周口市新光明中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，则等于(

)A. B. C. D.参考答案：A略2.已知m，n为异面直线，平面，平面，直线满足，则

A．

B．

C．相交，且交线垂直于

D．相交，且交线平行于参考答案：D3.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且若直线PA的方程为，则直线PB的方程是A.

B.

C.

D.参考答案：

B4.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】几何体的三视图，几何体的结构.G1

G2解析：由三视图可知此四棱锥是底面边长，一条侧棱与底面垂直，其长2，与这条棱相对的另一条棱的长为，剩余两条侧棱长为，可求得这个四棱锥的侧面积为，故选C.【思路点拨】由三视图得此几何体的结购及各棱长，从而求得此几何体的侧面积.

5.设函数f(x)＝(x－a)2＋(lnx2－2a)2，其中x>0，a∈R，存在x0使得f(x0)≤b成立，则实数b的最小值为A.

B.

C.

D.1参考答案：C6.若共线，则k的值为（

）A.2

B.1

C.0

D.-1参考答案：D7.已知复数和复数，则为

A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.已知集合，，则（

）A．(2,3) B．[2,3) C．(3,+∞) D．(2,+∞)参考答案：A9.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若则；②若则；③若，，则；④若则．其中真命题个数是（

）．A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：【知识点】平面与平面平行的性质

G3B若，则可以垂直也可以平行.故①错；若，则可以相交也可以平行，只有直线相交才有故②错；若，，则；故③正确；若则，故③正确.所以正确命题有两个，故选择B．【思路点拨】垂直于同一个平面的两个平面可以相交也可以平行，所以①错；只有直线相交才有故②错；两平面平行，则一个平面内的所有直线都平行令外一个平面，所以③正确；三个平面两两相交，且交线平行，可知③正确.10.命题“?x∈R，x2+1≥1”的否定是（）A． ?x∈R，x2+1＜1

B．?x∈R，x2+1≤1 C． ?x∈R，x2+1＜1

D．?x∈R，x2+1≥1参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是

.参考答案：或。函数，当时，，当时，，综上函数，做出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是或。

12.已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为

.

参考答案：16π分析：先求出底面三角形的外接圆的半径，再求三棱柱外接球的表面积，再利用基本不等式求最小值.详解：设BC=a,,则ab=.底面三角形外接圆的半径为r,则所以所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为故答案为：16π.

13.若存在实数使成立，则实数的取值范围是

.参考答案：试题分析：为使存在实数使成立，只需的最小值满足不大于.14.已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC=1，AC=2，AB=．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为．参考答案：1+【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，B、O两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可．【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图．设∠ACO=θ，B（x，y），则有：x=ACcosθ+BCsinθ=2cosθ+sinθ，y=BCcosθ=cosθ．∴x2+y2=4cos2θ+4sinθcosθ+1=2cos2θ+2sin2θ+3=2sin（2θ+）+3，当sin（2θ+）=1时，x2+y2最大，为2+3，则B、O两点间的最大距离为1+．故答案为1+．15.已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x（a∈R）在区间（﹣2，2）不单调，则a的取值范围是

．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3x2+（2﹣2a）x﹣a（a+2）=0在区间（﹣2，2）上有解，再利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围．【解答】解：由题意可得f′（x）=3x2+（2﹣2a）x﹣a（a+2）=0在区间（﹣2，2）上有解，故有①，或f′（﹣2）f（2）＜0②．可得，a的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查函数的单调性与导数的关系，二次函数的性质应用，属于中档题．16.对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是．参考答案：（0，2）【考点】函数的图象．【分析】根据题意得：以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，1为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于2，即f（x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于2，设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：|OC|＜1+1=2，设C（x，），∵|OC|=≥，∴＜2，即0＜k＜2，则k的范围为（0，2）．故答案为：（0，2）．17.若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m=．参考答案：8【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由于双曲线的离心率为3，得到双曲线的渐近线y=2x，渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，可得圆心到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的离心率为3，∴c=3a，∴b=2a，取双曲线的渐近线y=2x．∵双曲线的渐近线与x2+y2﹣6y+m=0相切，∴圆心（0，3）到渐近线的距离d=r，∴，∴m=8，故答案为：8．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.参考答案：（Ⅰ）证明：平面平面，,平面平面，平面，

∵AF在平面内，∴，……………3分又为圆的直径，∴，

∴平面.

…………

6分（Ⅱ）解：由（1）知即，∴三棱锥的高是，∴,………8分连结、，可知∴为正三角形，∴正的高是，………10分∴，……12分

略19.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB丄平面PAD,PD=AD,E为PB的中点，向量，点H在AD上，且(I)：EF//平面PAD.(II)若PH＝，AD=2,AB=2,CD=2AB,(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值.（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）取PA的中点Q，连结EQ、DQ，则E是PB的中点，,四边形EQDF为平行四边形，，，………………(3分)（Ⅱ）⑴解法一：证明:,

PH⊥AD,

又

AB⊥平面PAD，平面PAD,AB⊥PH,又

PHAD=H,PH⊥平面ABCD;---------------------------------(4分)连结AE

又且

………………(5分)由（Ⅰ）知

………………(7分)

,

又

在

又

………………(9分)(2)延长DA，CB交于点M，连接PM，则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线。………………(10分)因为,所以点A,B分别为DM,CM的中点，所以DM=4，在中：，

,………………(11分)又因为，所以即为所求的二面角的平面角。…………(13分)所以在中：…………(14分)解法二：（向量法）（1）由（Ⅰ）可得

又在平面ABCD内过点,以H为原点，以正方向建立空间直角坐标系

设平面PAB的一个法向量为

，

得y=0

令

得x=3………………11分设直线AF与平面PAB所成的角为则

………………（9分）(2)显然向量为平面PAD的一个法向量，且设平面PBC的一个法向量为，,，由得到由得到，令，则所以，所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为………（14分）20.已知为等比数列，前项的和为，且．（Ⅰ）求的通项公式及前项的和为；（Ⅱ）若，数列前项的和为，求数列的前项和．参考答案：略21.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是

等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．

（Ⅰ）设是PC上的一点，

证明：平面⊥平面；

（Ⅱ）当点位于线段PC什么位置时，

PA∥平面？

（Ⅲ）求四棱锥P－ABCD的体积．参考答案：（Ⅰ）在中，∵，，，∴．∴．

又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．

（Ⅱ）当点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，平面．证明如下：连接AC，交于点N，连接MN．∵，所以四边形是梯形．

∵，∴．又∵，∴，∴MN，∵平面，∴平面，

（Ⅲ）过作交于，∵平面平面，∴平面．即为四棱锥

的高．

又∵是边长为4的等边三角形，∴.在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高．∴梯形的面积．

故．

略22.（本小题满分14分）已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围； （3）设函数，，，如果存在，对任意都有成立，试求的最大值． 参考答案：解答：（1）当时，，∴， 令，则，， ………………2分 、和的变化情况如下表+00+极大值极小值 即函数的极大值为1，极小值为；

………………5分 （2）， 若在区间上是单调递增函数， 则在区间内恒大于或等于零， 若，这不可能， 若，则