江西省九江市武宁外国语学校高三数学文期末试题含解析

江西省九江市武宁外国语学校高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 A．2 B.-2 C. D.参考答案：A2.“”是“函数为偶函数”的-------------------------（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A3.设，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]，则f（﹣1）的取值范围是（）A．，3] B．，6] C．[3，12] D．，12]参考答案：C【考点】简单线性规划；函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；利用参数表示出f（﹣1）的值域，设z=2b﹣c，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过可行域内的点A时，从而得到z=x+3y的最大值即可．【解答】解：f'（x）=3x2+4bx+c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣2）≥0，f'（﹣1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）由题设知f（﹣1）=2b﹣c，由z=2b﹣c，将z的值转化为直线z=2b﹣c在y轴上的截距，当直线z=2b﹣c经过点（0，﹣3）时，z最小，最小值为：3．当直线z=2b﹣c经过点C（0，﹣12）时，z最大，最大值为：12．故选C．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．5.直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=，则sin∠BAC=（）A． B． C． D．或参考答案：D【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x，先在Rt△ADE中，由tan∠BAD=，得出AE=5k，AD=k，在Rt△BDE中，由勾股定理求出BE，于是AB=AE+BE=5k+，然后根据AC的长度不变得出AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，即26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2，解方程求出x=k，或x=k，然后在Rt△ABC中利用正弦函数的定义即可求解．【解答】解：设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x．∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠BAD==，∴AE=5DE=5k，∴AD==k．∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，∴BE==，∴AB=AE+BE=5k+．∵∠C=90°，∴AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，即26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2，解得k2=x2，或x2，即x=k，或x=k，经检验，x=k，或x=k是原方程的解，∴BC=3k，或k，AB=AE+BE=5k+=6k，或，∴sin∠BAC==，或．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，设DE=k，BD=CD=x，利用勾股定理列出方程26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2是解题的关键，本题也考查了解无理方程的能力，考查了转化思想和数形结合思想，计算量较大，属于难题．6.已知焦点顺轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为(

)A. B. C. D.参考答案：B，焦点到渐近线的距离为，说明，则，故选B．7.设椭圆的左、右焦点分别是、，线段被点分成5︰3的两段，则此椭圆的离心率为A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：D8.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系，对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：151618192210298115115120由表中样本数据球的回归方程为，且直线，则点满足（

）A．在左侧

B．在右侧

C．在上

D．无法确定

参考答案：B9.在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，且.设与所成角为，与平面所成角为，二面角为，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A10.二项式的展开式中常数项为（）。

A．-15

B．15

C．-20

D．20参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为______.参考答案：【详解】设的起点为坐标原点，因为，所以设的终点坐标为，即，设，因为，所以，，，而，所以有，，当且仅当时，取等号，即时，取等号，即的最大值为，【点睛】本题考查了平面向量模的公式，考查了两个向量模的和的最大值问题，利用向量的坐标表示、重要的基本不等式是解题的关键.12.已知双曲线﹣=1上一点P（x，y）到双曲线一个焦点的距离是9，则x2+y2的值是．参考答案：133【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，不妨设点P（x，y）在右支上，焦点为右焦点，运用两点的距离公式和点满足双曲线方程，解方程可得P的坐标，进而得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的a=4，b=6，c==2，不妨设点P（x，y）在右支上，由条件可知P点到右焦点（2，0）的距离为9，即为=9，且﹣=1，解出x=2，y=±9，则x2+y2=52+81=133．故答案为：133．【点评】本题考查双曲线的方程和应用，考查两点距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．13.已知，，实数满足，则

．参考答案：或由题意可得：，∴，求解关于实数的方程可得：或.

14.（不等式选做题）不等式的解集是

；

参考答案：15.（5分）对a，b∈R，记，函数的最大值为参考答案：1考点： 函数零点的判定定理．分析： 先去掉函数中的绝对值，然后表示出函数f（x）的解析式，最后求函数的最大值即可．解答： 解：由题意知=∴当x＜﹣2时，f（x）=x+1＜﹣1当﹣2≤x≤2时，﹣1≤f（x）≤1当x＞2时，f（x）=3﹣x＜1综上所述，函数f（x）的最大值为1故答案为：1点评： 本题主要考查函数函数最值问题．含绝对值的函数要去掉绝对值考虑问题．16.对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为

．参考答案：①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．【分析】①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数；②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论；③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=；④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根．【解答】解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确．②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确．④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.已知函数的部分图象如图所示，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(1)若,求曲线在点处的切线方程(2)若在上恒成立,求实数a的取值范围(3)若数列的前项和,,求证:数列{bn}的前n项和参考答案：（1）因为,所以,,切点为.由,所以,所以曲线在处的切线方程为,即

+2分

（2）由,令,则(当且仅当取等号).故在上为增函数.①当时,,故在上为增函数,所以恒成立,故符合题意;②当时,由于,,根据零点存在定理,必存在,使得,由于在[0,+∞)上为增函数,故当时,,故在上为减函数,所以当时,,故在上不恒成立,所以不符合题意.综上所述,实数a的取值范围为

+6分

（3）证明:由由2知当时,,故当时,,故,故.下面证明:因为而,所以,,即:

+12分19.

已知，f1（x）=f′0（x），

f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n﹣1（x）（n∈N*）．（Ⅰ）请写出fn（x）的表达式（不需证明）；（Ⅱ）设fn（x）的极小值点为Pn（xn，yn），求yn；（Ⅲ）设，gn（x）的最大值为a，fn（x）的最小值为b，试求a﹣b的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴当x＞﹣（n+1）时，；当x＜﹣（n+1）时，．∴当x=﹣（n+1）时，fn（x）取得极小值，即（n∈N*）．（Ⅲ）解法一：∵，所以．又，∴a﹣b=（n﹣3）2+e﹣（n+1），令h（x）=（x﹣3）2+e﹣（x+1）（x≥0），则h'（x）=2（x﹣3）﹣e﹣（x+1）．∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，∴h'（x）≥h'（0）=﹣6﹣e﹣1，∵h'（3）=﹣e﹣4＜0，h'（4）=2﹣e﹣5＞0，∴存在x0∈（3，4）使得h'（x0）=0．∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，∴当0≤x＜x0时，h'（x0）＜0；当x＞x0时，h'（x0）＞0，即h（x）在[x0，+∞）单调递增，在[0，x0）单调递减，∴（h（x））min=h（x0），又∵h（3）=e﹣4，h（4）=1+e﹣5，h（4）＞h（3），∴当n=3时，a﹣b取得最小值e﹣4．解法二：∵，所以．又，∴a﹣b=（n﹣3）2+e﹣（n+1），令，则，当n≥3时，，又因为n≥3，所以2n﹣5≥1，，，所以，所以cn+1＞cn．又，c1＞c2＞c3，∴当n=3时，a﹣b取得最小值e﹣4．略20.（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．（Ⅰ）求证：AD⊥BF：（Ⅱ）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角D﹣AP﹣C的余弦值为，求PF的长度．参考答案：【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．【专题】：综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）利用面面垂直的性质，可得AD⊥平面ABEF，即可证明AD⊥BF；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得=（﹣，0，1），=（﹣1，﹣1，），利用向量的夹角公式，即可求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（Ⅱ）设P点坐标为（0，2﹣2t，t），求得平面APF的法向量为=（1，0，0），平面APC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．（Ⅰ）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，所以AD⊥平面ABEF，因为BF?平面ABEF，所以AD⊥BF；（Ⅱ）解：因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．所以B（1，0，0），E（，0，1），P（0，1，），C（1，2，0）．所以=（﹣，0，1），=（﹣1，﹣1，），所以cos＜，＞=，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为．

（Ⅲ）解：因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为=（1，0，0）．设P点坐标为（0，2﹣2t，t），在平面APC中，=（0，2﹣2t，t），=（1，2，0），所以平面APC的法向量为=（﹣2，1，），所以cos＜，＞==，解得t=，或t=2（舍）．此时|PF|=．【点评】：本题考查线面垂直，考查线线角、面面角，考查利用空间向量解决空间角问题，正确求向量是关键．21.（本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为.（Ⅰ）若为等边三角形,求椭圆的方程;（Ⅱ）若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.参考答案：（1）；（2）或.试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出椭圆的标准方