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文档简介

一、平面点集n维欧氏空间二、多元函数概念三、多元函数极限四、多元函数连续性第一节多元函数基本概念1/26

中点列收敛(了解)

定义2/26

定理

定理

柯西收敛准则

中其它完备性定理见P34.3/26四、多元函数连续性

定义

.

设n元函数定义在D上,假如函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上不然称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,连续充要条件是4/26比如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:

一切多元初等函数在定义区域内连续.5/26例1设试证f(x,y)在原点连续.证所以f(x,y)在原点连续.要证6/26例2设讨论f(x,y)连续性.解7/26例2设讨论f(x,y)连续性.解8/26例3证实在点(0,0)处沿此点每条射线连续,9/26定理若f(x,y)和g(x,y)在连续,则函数若函数定理

则复合函数闭域上多元连续函数有与一元函数类似以下性质:10/26定理：若f(P)在有界闭域D

上连续,则*(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)(证实略)11/26解:

原式例4.求例5.求函数连续域.解:12/26一、偏导数定义及其计算法二、高阶偏导数(下节课)6.2偏导数13/26定义在点存在,偏导数，记为某邻域内有定义,则称此极限为函数若极限设函数注意:14/26一样可定义对y

偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,15/26比如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x偏导数概念能够推广到二元以上函数.偏导数定义为(请自己写出)16/26二元函数偏导数几何意义:是曲线在点M0处切线对x轴斜率.在点M0处切线斜率.是曲线对y轴17/26例1.

求解法1:解法2:在点(1,2)处偏导数.18/26例2.

设证:例3.求偏导数.解:求证19/26例4.设

解:分段函数在分界点处偏导数普通用定义求.20/26函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续.显然比如,注意：在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!21/26函数在某点连续不能确保在此点各偏导数都存在不过比如,注意：22/26处处都存在且有界,定理一个邻域内两个偏导数证实P5023/26内容小结多元函数连续性1)函数2)闭域上多元连续函数性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续24/26内容小结1.偏导数概念及相关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续2.偏导数计算方法

求一点处偏导数方法先代后求先求后代利用定义25/26

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