高考数学总复习6.3等比数列及其前n项和市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

§6.3等比数列及其前n项和[考纲要求]

1.了解等比数列概念.2.掌握等比数列通项公式与前n项和公式.3.能在详细问题情境中识别数列等比关系，并能用相关知识处理对应问题.4.了解等比数列与指数函数关系．1/391．等比数列相关概念(1)等比数列相关概念普通地，假如一个数列从_______起，每一项与它前一项比等于_________，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列______，通惯用字母___表示．第2项同一常数公比q2/392．等比数列相关公式(1)等比数列通项公式设等比数列{an}首项为a1，公比为q，q≠0，则它通项公式an＝____________．a1·qn－13/394/39(4)公比不为－1等比数列{an}前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为_____．qn5/39【思索辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)数列{an}为等比数列．(

)(2)G为a，b等比中项⇔G2＝ab.(

)(3)假如数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(

)6/39【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×

(6)×7/391．(·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于(

)A．21

B．42C．63D．84【解析】

设等比数列{an}公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.【答案】

B8/39【答案】

A9/393．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}前8项和等于(

)A．6B．5C．4D．3【解析】

数列{lgan}前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.【答案】

C10/394．(·安徽)已知数列{an}是递增等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}前n项和等于________．【答案】

2n－111/395．(·开封模拟)正项等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，则数列{an}前9项和等于________．【答案】

102212/39题型一等比数列基本量运算【例1】

(1)(·天津河西模拟)在等比数列{an}中，若公比q＝4，S3＝21，则该数列通项公式an＝(

)A．4n－1

B．4nC．3nD．3n－1(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________．13/3914/39【答案】

(1)A

(2)4或－4【方法规律】

等比数列基本量运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，普通能够“知三求二”，经过列方程(组)可迎刃而解．15/3916/39【答案】

(1)D

(2)3n－117/39题型二等比数列判定与证实【例2】

设数列{an}前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证实：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}通项公式．18/3919/3920/39【引申探究】

例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其它不变探求数列{an}通项公式．【解析】

由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，当n＝1时上式也成立，故{an＋1}是以2为首项，以2为公比等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.21/39【方法规律】

(1)证实一个数列为等比数列惯用定义法与等比中项法，其它方法只用于选择题、填空题中判定；若证实某数列不是等比数列，则只要证实存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时情况进行验证．22/3923/3924/3925/3926/3927/3928/39【方法规律】

(1)在等比数列基本运算问题中，普通利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但假如能灵活利用等比数列性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，能够降低运算量．(2)等比数列项经过适当组合后组成新数列也含有某种性质，比如等比数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk(q≠－1)．29/39跟踪训练3(1)(·衡水模拟)已知正数组成等比数列{an}，若a1·a20＝100，那么a7＋a14最小值为(

)A．20B．25C．50D．不存在(2)(·珠海质量监测)等比数列{an}共有奇数项，全部奇数项和S奇＝255，全部偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(

)A．1B．2C．3D．430/39【答案】

(1)A

(2)C31/3932/39【思绪点拨】

(1)利用等差数列性质求出等比数列公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，依据函数单调性证实．【规范解答】

(1)设等比数列{an}公比为q，因为－2S2，S3，4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，33/3934/3935/39【温馨提醒】

(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见分类讨论有①已知Sn与an关系，要分n＝1，n≥2两种情况．②等比数列中碰到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．③项数奇、偶数讨论．④等比数列单调性判断注意与a1，q取值讨论．(2)数列与函数有亲密联络，证实与数列相关不等式，普通是求数列中最大项或最小项，能够利用图象或者数列增减性求解，同时注意数列增减性与函数单调性区分.36/3937/3938/39►失误与防范1．尤其注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．2．由