2.3.2《抛物线的简单几何性质》省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

2.3.2《抛物线简单几何性质》1/40教学目标

知识与技能目标使学生了解并掌握抛物线几何性质，并能从抛物线标准方程出发，推导这些性质．从抛物线标准方程出发，推导抛物线性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力过程与方法目标复习与引入过程1．抛物线定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等点轨迹叫做抛物线．”2．抛物线标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线几何性质，从抛物线标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它几何性质．《板书》抛物线几何性质2/403/40一、复习回顾：.FM.－－抛物线标准方程1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等点轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线焦点。定直线l叫做抛物线准线。

4/40标准方程图形

焦点

准线xyoF..xyFo.yxoF.xoyF2、抛物线标准方程：5/40例求以下抛物线焦点坐标和准线方程(1)y2=6x（2）（3）2x2+5y=0（3）抛物线方程是2x2+5y=0,即x2=-y,2p=则焦点坐标是F（0，-）,准线方程是y=(2)焦点坐标是准线方程是6/40求以下抛物线焦点坐标和准线方程：

（1）y2=20x（2）x2=y

（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0焦点坐标准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，—）116y=-—1168x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2练习：7/40抛物线方程为x=ay2（a≠0)求它焦点坐标和准线方程？

解：抛物线标准方程为：y2=x1a∴2p=1

a4a1∴焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a1②当a<0时,,抛物线开口向左p2=14a∴焦点坐标是（，0），准线方程是：

x=4a114a①当a>0时,,抛物线开口向右p2=14a思考8/40y﹒xo复习9/40结合抛物线y2=2px(p>0)标准方程和图形,探索其几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线轴抛物线和它轴交点叫做抛物线顶点.二、讲授新课：.yxoF(4)离心率抛物线上点与焦点距离和它到准线距离比，叫做抛物线离心率，用e表示，由抛物线定义可知，e=1

只有一个顶点10/40方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）e=111/40补充（1）通径：经过焦点且垂直对称轴直线，与抛物线相交于两点，连接这两点线段叫做抛物线通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：

连接抛物线任意一点与焦点线段叫做抛物线焦半径。焦半径公式：（标准方程中2p几何意义）利用抛物线顶点、通径两个端点可较准确画出反应抛物线基本特征草图。12/40基本点：顶点，焦点基本线：准线，对称轴基本量：P（决定抛物线开口大小）XY抛物线基本元素

y2=2px13/40特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,即使它能够无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线离心率是确定,为1;5.抛物线标准方程中p对抛物线开口影响.P越大,开口越开阔14/40图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x轴y轴115/40变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,而且过点M(2,)抛物线有几条,求它标准方程.经典例题：例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,而且过点M(2,),求它标准方程.当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可防止讨论16/4017/40xyOFABB’A’例2.斜率为1直线L经过抛物线焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB长.y2=4x解法一:由已知得抛物线焦点为F(1,0),所以直线AB方程为y=x-118/40xyOFABB’A’例2.斜率为1直线L经过抛物线焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB长.y2=4x解法二:由题意可知,19/40分析：利用抛物线定义和平面几何知识来证比较简捷．

变式：过抛物线y2=2px焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径圆和这抛物线准线相切．20/40证实：如图．

所以EH是以AB为直径圆E半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜

=2｜EH｜21/40练习:1.已知抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是______________.2.过抛物线焦点,作倾斜角为直线,则被抛物线截得弦长为_________3.垂直于x轴直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4,求直线AB方程.

y2=8xX=322/40例3.过抛物线焦点F直线交抛物线于A,B两点,经过点A和抛物线顶点直线交抛物线准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线对称轴.xOyFABD23/40例3过抛物线焦点F直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点直线交抛物线准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线对称轴。xyOFABD24/40小结:1.掌握抛物线几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线几何性质求抛物线标准方程、焦点坐标及处理其它问题;25/4026/40图形标准方程范围对称性顶点离心率关于x

轴对称，无对称中心关于x

轴对称，无对称中心关于y

轴对称，无对称中心关于y

轴对称，无对称中心e=1e=1e=1e=127/40分析:直线与抛物线有一个公共点情况有两种情形：一个是直线平行于抛物线对称轴；另一个是直线与抛物线相切．28/40判断直线与抛物线位置关系操作程序把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线对称轴平行相交（一个交点）

计算判别式>0=0<0相交相切相离29/4030/40分析:直线与抛物线有两个公共点时△>0分析:直线与抛物线没有公共点时△<031/40注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论作图关键点:画出直线与抛物线只有一个公共点时情形,观察直线绕点P转动情形32/40变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b最大值是多少?分析:本题与例1类型相同,方法一样,经过联立方程组求得.(1)b=1(2)b<1(3)b>1,当直线与抛物线有公共点时,b最大值当直线与抛物线相切时取得.其值为133/40变式二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数最值变式三:点(x,y)在抛物线y