【常微分方程解的稳定性的探究2500字】

PAGEPAGE21常微分方程解的稳定性的研究目录TOC\o"1-2"\h\u16451常微分方程解的稳定性的研究 14324摘要 113347第1章引言 116882第2章稳定性定义 119727第3章函数 231884第4章稳定性定理 328741第5章结论 428795参考文献 4摘要微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式；如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程。常微分方程是理工科专业中的一门基础课程，起源于17世纪，其中如何求解常微分方程是该门课程的重点，也是该门课程必须要攻克的难点，学习常微分方程这一部分内容，对于大多数人来说都是偏难的，但它又是数学专业中必须要掌握的知识，所以采用合适的方程去解决常微分方程是很有必要的，也是值得重视的。因此，本文针对常微分方程进行研究分析，进而在不同领域使用且促进数学知识的全面使用。关键词：常微分；稳定性；方程第1章引言20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理、化学、生物、天文）和社会科学（如工程、经济、军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定.稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。20世纪50～60年代，在美国贝尔曼(R．Bellman)、莱夫谢茨(S．Lefschetz)及拉萨尔(J．P．LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来.在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开开辟的方向。第2章稳定性定义初始值的微小变化对不同系统的影响不同.例如初始值问题，（1）的解为.是（1）的一个解，我们称它为零解.当时，无论多小，只要，当时，总有，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当时，与零解的误差不会超过初始误差，且随着的增加很快就会消失，所以当很小时，与零解的误差也很小.这个例子表明时(1)的零解是“不稳定的”，而当时（1）的零解是“稳定”的.下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义.设微分方程，，（2）满足解的存在惟一性定理的条件，其解的存在区间是，还满足条件（3）（3）保证是(2)的解，我们称它为零解.定义1若对任意给定的，都能找到，使得当时(2)的解满足，（4）则称（2）的零解是稳定的，否则称（2）的零解是不稳定的.第3章函数设函数在中原点的某邻域中有定义，在中连续可微，且满足.定义6若除原点外对所有均有，则称为正定函数(负定函数)；若对所有均有，则称为半正定函数或常正函数(半负定函数或常负函数)；若中原点的任一邻域内既可取正值，也可取负值，则称为变号函数.例如，是中的正定函数，是中的半正定函数，而是中的变号函数.由定义6看出，正定时必是半正定的.另外正定和半正定与空间的维数和邻域的大小有关.例如是中的正定函数，而它在中仅是半正定的.利用化为极坐标的方法可以看出，函数在中的区域中是正定函数，而在中却不是正定函数.最常用的函数是二次型，因为二次型的表达式简单，其符号类型可以利用线性代数中有关的特征值理论来判定，且一些复杂的函数往往可以通过对二次型的修改得到.一般函数的符号判断十分困难，通常是把在原点展开为级数其中，分别是的次、次齐次函数，根据展开式中的最低次项，在许多情况下就可以确定在原点邻域内的符号.对正定函数，容易证明当充分小时，是中包围原点的闭曲面，且随着趋于零，缩向坐标原点.事实上，由正定函数的定义可知，在内的闭曲面上，有正的下界，当时，在连接原点与任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点，使，所以是包围原点的闭曲面。第4章稳定性定理设维自治微分方程(6)的解为.为了研究(6)解的稳定性，考察随时间变化时的变化情况.将视为的复合函数，关于求导得(7)(7)为函数沿着(7)轨线的全导数.定理1若有原点的邻域和一个正定(负定)函数，使得是半负定(半正定)的，则系统(6)的零解是稳定的；且使得负定(正定)时，(6)的零解是渐近稳定的。定理2几何意义是函数正定时，是包围原点的闭曲面族，且随着的减少而缩向原点.当全导数半负定时，在时过的轨线上，的值不会增加，(2)的轨线只能停留在内，所以原点是稳定的.当负定时，原点邻域内(6)的轨线不断跑向闭曲面族中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以(6)的零解是渐近稳定的.该几何意义也正是我们证明定理1的基本思想.证明设正定，对任意给定的(不妨假设闭球在中)，取，则当时，的点必全部位于原点的邻域内.由的连续性知，必有，使得当时.由于，当时，对一切有，所以，当时，.这就说明了半负定时，(6)的零解时稳定的.当负定时，(6)的零解稳定，只要，即可证明(6)的零解渐近稳定.利用反证法，设(6)的零解不是渐近稳定的，则至少有一个从上述原点的邻域内某点出发的解，使得.由于负定，故单调下降，从而由的正定性知必有，且时.由的连续性知，必存在，使得时.又由于是负定的，必有，在区域内，，由(7)式得，(8)对(8)式两边积分得(9)(9)表明，这与矛盾.故（6）的零解是渐近稳定的.第5章结论从上面的分析和例子可以看出，零解的稳定性主要通过稳定性定理结合函数来判断，而平衡点的稳定性的讨论方法主要有间接法和直接法两种，间接法需要求出系统的解析解，对于一些简单方程的可能很容易求出，而对于一些复杂的方程，我们是借助了数学软件求出的方程的通解；而直接法不用求方程的解就可以讨论平衡点的稳定性。我们在数学建模的过程中，有些系统不用求解的方程，只需要研究平衡点的稳定状态，所以用直接法分析平衡点的稳定性是非常有用的。参考文献[1]王高雄.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.[2]姜启源