八年级数学上册压轴题综合检测试题附答案001

八年级数学上册压轴题综合检测试题附答案1．（初步探索）（1）如图：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．(1)（1）小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________；(2)（灵活运用）（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；2．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足a2-4a+4+＝0．（1）求a，b的值；（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧，且∠ACB＝45°，求点C的坐标；（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．①求证：CF=BC；②直接写出点C到DE的距离．

3．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似．例如：计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3＝，i4＝，i+i2+i3+…+i2021＝；（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）；（3）已知a+bi＝（a，b为实数），求的最小值．4．（1）如图1，已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（提示：由于DE=AD+AE，证明AD=CE，AE=BD即可）（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试证明DEF是等边三角形．5．已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．(1)如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰，若，，求C点的坐标；(2)如图2，若点A的坐标为，点B的坐标为，点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理出；(3)如图3，若，于点F，以OB为边作等边，连接AM交OF于点N，若，，请直接写出线段AM的长．6．如图1，在平面直角坐标系中，，，且∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）求点B的坐标；（2）如图2，若BC交y轴于点M，AB交x轴与点N，过点B作轴于点E，作轴于点F，请探究线段MN，ME，NF的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若在点B处有一个等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接AG，点H为AG的中点，试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论．7．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）求∠CAM的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．【参考答案】2．(1)（初步探索）结论：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；(2)（灵活运用）成立，理由见解析【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠D解析：(1)（初步探索）结论：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；(2)（灵活运用）成立，理由见解析【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．（1）解：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵，∴，∵DG＝BE，，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF=BE+FD，DG＝BE，∴，且AE＝AG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．故答案为：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；（2）如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．3．（1）a＝2，b＝-1；（2）满足条件的点C（2，1）或（1，-1）；（3）①证明见解析；②1．【分析】（1）可得(a−2)2+＝0，由非负数的性质可得出答案；（2）分两种情况：∠BAC=9解析：（1）a＝2，b＝-1；（2）满足条件的点C（2，1）或（1，-1）；（3）①证明见解析；②1．【分析】（1）可得(a−2)2+＝0，由非负数的性质可得出答案；（2）分两种情况：∠BAC=90°或∠ABC=90°，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可求出点C的坐标；（3）①如图3，过点C作CL⊥y轴于点L，则CL=1=BO，根据AAS可证明△BOE≌△CLE，得出BE=CE，根据ASA可证明△ABE≌△BCF，得出BE=CF，则结论得证；②如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，根据SAS可证明△CDE≌△CDF，可得∠BAE=∠CBF，由角平分线的性质可得CK=CH=1．【详解】（1）∵a2−4a+4+＝0，∴(a−2)2+＝0，∵（a-2）2≥0，≥0，∴a-2=0，2b+2=0，∴a=2，b=-1；（2）由（1）知a=2，b=-1，∴A（0，2），B（-1，0），∴OA=2，OB=1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB=45°，∴只有∠BAC=90°或∠ABC=90°，Ⅰ、当∠BAC=90°时，如图1，∵∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=CB，过点C作CG⊥OA于G，∴∠CAG+∠ACG=90°，∵∠BAO+∠CAG=90°，∴∠BAO=∠ACG，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG=OA=2，AG=OB=1，∴OG=OA-AG=1，∴C（2，1），Ⅱ、当∠ABC=90°时，如图2，同Ⅰ的方法得，C（1，-1）；即：满足条件的点C（2，1）或（1，-1）（3）①如图3，由（2）知点C（1，-1），过点C作CL⊥y轴于点L，则CL=1=BO，在△BOE和△CLE中，，∴△BOE≌△CLE（AAS），∴BE=CE，∵∠ABC=90°，∴∠BAO+∠BEA=90°，∵∠BOE=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE=CF，∴CF＝BC；②点C到DE的距离为1．如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，由①知BE=CF，∵BE=BC，∴CE=CF，∵∠ACB=45°，∠BCF=90°，∴∠ECD=∠DCF，∵DC=DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，∴CK=CH=1．【点睛】此题考查三角形综合题，非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值为25．【分析】（1）根据题目所给条件可得i3=i2•i，i4=i2•i2计算即可得出答案；（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条解析：（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值为25．【分析】（1）根据题目所给条件可得i3=i2•i，i4=i2•i2计算即可得出答案；（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条件即可得出答案；（3）根据题目已知条件，a+bi＝4+3i，求出a、b，即可得出答案．【详解】（1）i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，设S＝i+i2+i3+…+i2021，iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，∴（1﹣i）S＝i﹣i2022，∴S＝，故答案为﹣i，1，；（2）（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）＝3﹣4i+3i﹣4i2﹣（4﹣9i2）＝3﹣i+4﹣4﹣9＝﹣i﹣6；（3）a+bi＝＝＝＝4+3i，∴a＝4，b＝3，∴＝，∴的最小值可以看作点（x，0）到点A（0，4），B（24，3）的最小距离，∵点A（0，4）关于x轴对称的点为A'（0，﹣4），连接A'B即为最短距离，∴A'B＝＝25，∴的最小值为25．【点睛】此题考查了实数的运算，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）见解析【分析】（1）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；（2）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；（3）运用SAS证明△DBF≌△EAF，后运解析：（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）见解析【分析】（1）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；（2）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；（3）运用SAS证明△DBF≌△EAF，后运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．【详解】（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）如图2，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．6．(1)(2)整式的值不发生变化．其值为(3)【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结论的值不变为；解析：(1)(2)整式的值不发生变化．其值为(3)【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结论的值不变为；（3）在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出．由等腰三角形的性质可得出结论．(1)解：如图1，过点作于点，，等腰直角三角形，，，．，，．，，，，，；(2)解：整式的值不会变化．理由如下：如图2，过点作于点，，等腰直角三角形，，，，，，，，，，当点沿轴负半轴向下运动时，，整式的值不变，为；(3)．证明：如图3，在上截取，连接，是等边三角形，，，为等腰直角三角形，，，，,，，，，，．，，，，，，，，，即．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的做出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．7．（1）（2），见解析（3）且，见解析【分析】（1）如图1中，过点C作CT⊥y轴于点T，根点B作BH⊥CT交CT的延长线于点H．证明△ATC≌△CHB（AAS），推出AT＝CH＝6，CT＝解析：（1）（2），见解析（3）且，见解析【分析】（1）如图1中，过点C作CT⊥y轴于点T，根点B作BH⊥CT交CT的延长线于点H．证明△ATC≌△CHB（AAS），推出AT＝CH＝6，CT＝BH＝2，可得结论；（2）结论：MN＝ME+NF．证明△BFN≌△BEK（SAS），推出BN＝BK，∠FBN＝∠EBK，再证明△BMN≌△BMK（SAS），推出MN＝MK，可得结论；（3）结论：DH＝CH，DH⊥CH．如图3中，延长DH到J，使得HJ＝DH，连接AJ，CJ，延长DG交AC于点M．证明△JDC是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：（1）如图1中，过点C作CT⊥y轴于点T，根点B作BH⊥CT交CT的延长线于点H．∵A（0，4），C（﹣2，﹣2），∴OA＝4，OT＝CT＝2，∴AT＝4+2＝6，∵∠ACB＝∠ATC＝∠H＝90°，∴∠CAT+∠ACT＝90°，∠BCH+∠CBH＝90°，∴∠CAT＝∠BCH，∵CA＝CB，∴△ATC≌△CHB（AAS），∴AT＝CH＝6，CT＝BH＝2，∴TH＝CH﹣CT＝4，∴B（4，-4）；（2）结论：MN＝ME+NF．理由：在射线OE上截取EK＝FN，连接BK．∵B（4，4），BE⊥y轴，BF⊥x轴，∴BE＝BF＝4，∠BEO＝∠BFO＝∠EOF＝90°，∴四边形BEOF是矩形，∴∠EBF＝90°，∵EK＝FN，∠BFN＝∠BEK＝90°，∴△BFN≌△BEK（SAS），∴BN＝BK，∠FBN＝∠EBK，∴∠NBK＝∠FBE＝90°，∵∠MBN＝45°，∴∠MBN＝∠BMK＝45°，∵BM＝BM，∴△BMN≌△BMK（SAS），∴MN＝MK，∵MK＝ME+EK，∴MN＝EM+FN；（3）结论：DH＝CH，DH⊥CH．理由：如图3中，延长DH到J，使得HJ＝DH，连接AJ，CJ，延长DG交AC于点M．∵AH＝HG，∠AHJ＝∠GHD，HJ＝HD，∴△AHJ≌△GHD（SAS），∴AJ＝DG，∠AJH＝∠DGH，∴AJ∥DM，∴∠JAC＝∠AMD，∵DG＝BD，∴AJ＝BD，∵∠MCB＝∠BDM＝90°，∴∠CBD+∠CMD＝180°，∵∠AMD+∠CMD＝180°，∴∠AMD＝∠CBD，∴∠CAJ＝∠CBD，∵CA＝CB，∴△CAJ≌△CBD（SAS），∴CJ＝CD，∠ACJ＝∠BCD，∴∠JCD＝∠ACB＝90°，∵JH＝HD，∴CH⊥DJ，CH＝JH＝HD，即CH＝DH，CH⊥DH．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．（1），；（2），；（3）．【分析】（1）先判断出，再判定，再判断，（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；（3）先判断出，再判断出，最后计算即可．【详解】解：（1）与的位置关解析：（1），；（2），；（3）．【分析】（1）先判断出，再判定，再判断，（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；（3）先判断出，再判断出，最后计算即可．【详解】解：（1）与的位置关系是：，数量关系是．理由如下：如图1，延长交于点．于，．，，，