八年级数学上册压轴题模拟检测试题答案

八年级数学上册压轴题模拟检测试题答案1．已知，如图1，射线分别与直线相交于两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点，设，，且．（1）______°，______°；直线与的位置关系是______；（2）如图2，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在的数量关系，证明你的结论；（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图3），分别与相交于点和时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．2．如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC=30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB=PE，连BE．（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC=CE；（3）若AC=6，CE=2，则PD的值为（直接写出结果）．3．如图，中，，．（1）如图1，，，求证：；（2）如图2，，，请直接用几何语言写出、的位置关系____________；（3）证明（2）中的结论．4．请按照研究问题的步骤依次完成任务．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为；【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）；（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论．5．已知：，．(1)当a，b满足时，连接AB，如图1．①求：的值．②点M为线段AB上的一点（点M不与A，B重合，其中BM＞AM），以点M为直角顶点，OM为腰作等腰直角△MON，连接BN，求证：．(2)当，，连接AB，若点，过点D作于点E，点B与点C关于x轴对称，点F是线段DE上的一点（点F不与点E，D重合）且满足，连接AF，试判断线段AC与AF之间的位置关系和数量关系，并证明你的结论．6．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且|a+4|+b2﹣86+16＝0．（1）求a，b的值；（2）如图1，c为y轴负半轴上一点，连CA，过点C作CD⊥CA，使CD＝CA，连BD．求证：∠CBD＝45°；（3）如图2，若有一等腰Rt△BMN，∠BMN＝90°，连AN，取AN中点P，连PM、PO．试探究PM和PO的关系．7．（1）如图1，已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（提示：由于DE=AD+AE，证明AD=CE，AE=BD即可）（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试证明DEF是等边三角形．8．已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）【参考答案】2．（1）30，30，AB//CD；（2）+=180°，证明见解析；（3）不变，．【分析】（1）利用非负数的性质可知：α=β=40°，推出∠EMF=∠MFN即可解决问题；（2）结论：∠FMN+∠解析：（1）30，30，AB//CD；（2）+=180°，证明见解析；（3）不变，．【分析】（1）利用非负数的性质可知：α=β=40°，推出∠EMF=∠MFN即可解决问题；（2）结论：∠FMN+∠GHF=180°．只要证明GH∥PN即可解决问题；（3）结论：的值不变，=2．如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R．只要证明∠R=∠FQM1，∠FPM1=2∠R即可；【详解】解：（1）∵，∴60-2α=0，β-30=0，∴α=β=30°，∴∠PFM=∠MFN=30°，∠EMF=30°，∴∠EMF=∠MFN，∴AB∥CD；（2）结论：∠FMN+∠GHF=180°，理由如下：如图2中，∵AB∥CD，∴∠MNF=∠PME，∵∠MGH=∠MNF，∴∠PME=∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM=∠FMN，∵∠GHF+∠GHM=180°，∴∠FMN+∠GHF=180°；（3）的值不变，=2．理由如下：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，∵AB∥CD，∴∠PEM1=∠PFN，∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，∴∠PER=∠PFQ，∴ER∥FQ，∴∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，则有：，可得∠EPM1=2∠R，∴∠EPM1=2∠FQM1，∴=2．【点睛】本题考查几何变换综合题、平行线的判定和性质、角平分线的定义、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．3．（1）∠ABE=90°；（2）PD+AC=CE，见解析；（3）1【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：△BPE为等边三角形，则∠CBE=60°，故∠ABE=90°；解析：（1）∠ABE=90°；（2）PD+AC=CE，见解析；（3）1【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：△BPE为等边三角形，则∠CBE=60°，故∠ABE=90°；（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，构造含30度角的直角△PCG、直角△CPH以及全等三角形（Rt△PGB≌Rt△PHE），根据含30度的直角三角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；（3）分三种情况讨论，根据（2）的解题思路得到PD=AC+CE或PD=CE-AC，将数值代入求解即可．【详解】（1）解：如图1，∵点P与点C重合，CD是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=30°，∴∠BPE=∠PAB+∠PBA=60°，∵PB=PE，∴△BPE为等边三角形，∴∠CBE=60°，∴∠ABE=90°；（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，∵CD垂直平分AB，∴CA=CB，∵∠BAC=30°，∴∠ACD=∠BCD=60°，∴∠GCP=∠HCP=∠BCE=∠ACD=∠BCD=60°，∴∠GPC=∠HPC=30°，∴PG=PH，CG=CH=CP，CD=AC，在Rt△PGB和Rt△PHE中，，∴Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．∴BG=EH，即CB+CG=CE-CH，∴CB+CP=CE-CP，即CB+CP=CE，又∵CB=AC，∴CP=PD-CD=PD-AC，∴PD+AC=CE；（3）①当P在C点上方时，由（2）得：PD=CE-AC，当AC=6，CE=2时，PD=2-3=-1，不符合题意；②当P在线段CD上时，如图3，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC于G，此时Rt△PGB≌Rt△PHE（HL），∴BG=EH，即CB-CG=CE+CH，∴CB-CP=CE+CP，即CP=CB-CE，又∵CB=AC，∴PD=CD-CP=AC-CB+CE，∴PD=CE-AC．当AC=6，CE=2时，PD=2-3=-1，不符合题意；③当P在D点下方时，如图4，同理，PD=AC-CE，当AC=6，CE=2时，PD=3-2=1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了三角形综合题，综合运用全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题时，注意要分类讨论．4．（1）见解析；（2）⊥；（3）见解析【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，根据余角的性质可得∠ACD=∠BAE，然后根据AAS即可证得结论；（2）由于要得出、的位置关系，结解析：（1）见解析；（2）⊥；（3）见解析【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，根据余角的性质可得∠ACD=∠BAE，然后根据AAS即可证得结论；（2）由于要得出、的位置关系，结合图形可猜想：⊥；（3）如图，作CP⊥AC于点C，延长FD交CP于点P，先证明△BAE≌△FCP，可得∠3=∠P，AB=CP，然后证明△ACD≌△PCD，可得∠4=∠P，进一步即可推出∠4+∠2=90°，问题得证．【详解】解：（1）证明：∵，，∴∠ADC=∠E=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∵，∴∠DAC+∠BAE=90°，∴∠ACD=∠BAE，在△DAC和△EBA中，∵∠ADC=∠E，∠ACD=∠BAE，AC=AB，∴（AAS）；（2）结合图形可得：⊥；故答案为：⊥；（3）证明：如图，作CP⊥AC于点C，延长FD交CP于点P，∵AF=CE，∴AE=CF，∵，∴∠1=∠2，∵∠BAE=∠FCP=90°，∴△BAE≌△FCP，∴∠3=∠P，AB=CP，∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠PCP=90°，AB=CP，∴∠FCD=45°，AC=PC，∴∠ACB=∠PCD，∵CD=CD，∴△ACD≌△PCD，∴∠4=∠P，∵∠3=∠P，∴∠3=∠4，∵∠3+∠2=90°，∴∠4+∠2=90°，∴∠AGE=90°，即⊥．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．5．（1）见解析；（2）∠P=23º；（3）∠P=26º；（4）∠P=；（5）∠P=．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方解析：（1）见解析；（2）∠P=23º；（3）∠P=26º；（4）∠P=；（5）∠P=．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题；（4）根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再结合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），从而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；（5）根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再结合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=.【详解】解：（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的结论得：，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=23°；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；故答案为：26°；（4）由题意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=y+（∠CAB-∠CDB）=y+（x-y）=故答案为：∠P=；（5）由题意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D=90°+（∠B-∠D）+∠D=，故答案为：∠P=.【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．6．(1)10；证明见解析；(2)，，理由见解析；【分析】（1）①利用可求出，，即可求出；②作交AB与点C，交AB与点F，证明，再证明，利用，即可证明；（2）证明，得到，，再利用等量代换证明解析：(1)10；证明见解析；(2)，，理由见解析；【分析】（1）①利用可求出，，即可求出；②作交AB与点C，交AB与点F，证明，再证明，利用，即可证明；（2）证明，得到，，再利用等量代换证明；(1)解：①由图可知，∵∴，即，∴，，∴；②作交AB与点C，交AB与点F，如图，∵，，∴，在和中，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，即，(2)解：，，理由如下：假设DE交BC于点G，有已知可知：，，，，∴，∵∴∵，且，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，【点睛】本题考查三角形全等的判定，等量代换，绝对值非负性的应用，直角坐标系中的图形，（1）的关键是证明，（2）的关键证明．7．（1）a＝﹣4，b＝4；（2）见解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由见解析【分析】（1）先利用完全平方公式将a和b的式子化成绝对值与平方数之和的形式，再利用绝对值的非负数和平方数的非负性即可解析：（1）a＝﹣4，b＝4；（2）见解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由见解析【分析】（1）先利用完全平方公式将a和b的式子化成绝对值与平方数之和的形式，再利用绝对值的非负数和平方数的非负性即可；（2）如图1（见解析），作于E．易证，由三角形全等的性质得，再证明是等腰直角三角形即可；（3）如图2（见解析），延长MP至Q，使得，连接AQ，OQ，OM，延长MN交AO于C．证出和，再利用全等三角形的性质证明是等腰直角三角形即可.【详解】（1）由绝对值的非负性和平方数的非负性得：解得：；（2）如图1，作于E是等腰直角三角形，；（3）如图2，延长MP至Q，使得，连接AQ，OQ，OM，延长MN交AO于C∴∵在四边形MCOB中，是等腰直角三角形∴是等腰直角三角形.【点睛】本题考查了绝对值的非负数和平方数的非负性、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握这些定理与性质是解题关键.8．（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）见解析【分析】（1）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；（2）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；（3）运用SAS证明△DBF≌△EAF，后运解析：（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）见解析【分析】（1）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；（2）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；（3）运用SAS证明△DBF≌△EAF，后运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．【详解】（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）如图2，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．9．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AN解析：(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）先判断出∠DBC=∠