新编【人教A版】高中数学选修1-1同步辅导与检测-第三章3.4生活中的优化问题举例

PAGE新编人教版精品教学资料第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例A级基础巩固一、选择题1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，A.eq\f(3,2)eq\r(3)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析：设一个正三角形的边长为xcm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)[(x－2)2＋4]≥2eq\r(3)(cm2)．答案：D2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150B．200C．250D．300解析：由题意可得总利润P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x＜300时，P′(x)＞0；当300＜x≤390时，P′(x)＜0，所以当x＝300时，P(x)最大．答案：D3．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为()A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对解析：设一个数为x，则另一个数为8－x，其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2且0≤x≤8，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0，所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．答案：B4．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时A．6mB．8mC．4mD．2m解析：设底面边长为xm，高为hm．则有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(256×4,x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．答案：C5．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面正三角形的边长为()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)令l′＝0，即eq\f(3,2)＋eq\r(2)－eq\f(16,x2)＝0，解得x1＝8－4eq\r(2)，x2＝4eq\r(2)－8(舍去)．当0<x<8－4eq\r(2)时，l′<0；当8－4eq\r(2)<x<4eq\r(2)时，l′>0，所以，当x＝8－4eq\r(2)时，l取得最小值．此时，x＝8－4eq\r(2)≈2.343，y≈2.828.即当x约为2.343，y约为2.828时，用料最省．10．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地到B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度航行？解：(1)依题意得y＝eq\f(500,x)(960＋0.6x2)＝eq\f(480000,x)＋300x，且由题意知函数的定义域为(0，35]，即y＝eq\f(480000,x)＋300x(0＜x≤35)．(2)由(1)得y′＝－eq\f(480000,x2)＋300，令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0，35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0＜x≤35时，y′＜0，所以函数y＝eq\f(480000,x)＋300x在(0，35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝eq\f(480000,x)＋300x取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度航行．B级能力提升1．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，且f′(100)＝－1，这个数据说明在第100天时()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加C．公司的盈利在逐渐减少D．公司有时盈利有时亏损解析：因为f′(100)＝－1，所以函数图象在x＝100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．答案：C2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：依题意可设每月土地占用费y1＝eq\f(k1,x)，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．于是由2＝eq\f(k1,10)，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝eq\f(4,5).因此，两项费用之和为y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)(x＞0)，y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f(4,5)，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：53．某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产1吨该产品需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2（0≤x≤400），,80000（x＞400），))其中x是该产品的月产量(单位：吨)．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，该公司所获利润最大？最大利润为多少元？解：(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20000（0≤x≤400），,60000－100x（x＞400）.))(2)当0≤x≤400时，f′(x)＝－x＋300，当0≤x＜300时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x＞300时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；所以当x＝300时，f(x)取得极大值，也是最