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第一章二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第二节机动目录上页下页返回结束数列的极限数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为

r

的圆,求圆面积。逼近圆面积S.当n无限增大时,无限逼近S,S就叫做这列数的极限当n

>

N时,用其内接正n

边形的面积总有刘徽目录上页下页返回结束定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称该数列的极限为a,机动目录上页下页返回结束例如,趋势不定收敛发散机动目录上页下页返回结束例1.已知证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动目录上页下页返回结束例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取N与

有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

机动目录上页下页返回结束例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为

0.机动目录上页下页返回结束二、收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式机动目录上页下页返回结束例4.

证明数列是发散的.

证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N时,有因此该数列发散.机动目录上页下页返回结束2.收敛数列一定有界.证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列机动目录上页下页返回结束3.收敛数列的保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动目录上页下页返回结束4.收敛数列与其子数列间的关系：证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K=N,于是当时,有从而有由此证明机动目录上页下页返回结束如果数列收敛于则它的任一子数列也收敛，且极限也是a.内容小结1.数列极限的“–N

”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限机动目录上页下页返回结束作业

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