桥梁抗风理论课堂报告

引言湍流是一种复杂的三维非稳态、高度非线性的有旋流动现象。尽管，历史上湍流作为相对于层流流动的异常和不规那么特例进入人们的视野，然而在自然界中湍流现象是无处不在的：从江海湖泊中的水流，到飞机、汽车及船舶外表的绕流，房屋、管道中的对流换热过程，再到海洋和大气系统的环流，甚至恒星之间宇宙尘埃的涡旋都存在着千奇百怪的湍流现象。湍流问题的研究涵盖了从工程应用到根底学科各个门类。湍流现象在工程中普遍存在性，使得对于湍流现象的认识成为很多学科开展的瓶颈。然而，由于湍流现象的高度复杂性，虽然经过了一个多世纪的不懈努力，人们前后提出了100多个湍流模型，湍流现象还远远未被认识到，甚至在理论上尚且看不到建立湍流完整理论体系的前景。湍流被认为是“经典物理最后一个未被解决的问题”。目前，湍流的一些根本问题还不清楚，对湍流的研究仍然是各国学者关注的焦点。本文首先综述人们对湍流现象漫长的认识过程，第二局部介绍湍流的研究方法，其中重点介绍利用计算流体力学CFD(ComputationalFluidDynamics)方法模拟湍流流动；第三局部介绍CFD计算常用的湍流模型，第四局部简要对湍流理论及其研究方法进行小结。一、湍流现象及其理论开展概述我国宋代诗人范成大〔1126~1193〕写下“峡江绕暗石，水状日千变；不愁滩泷来，但畏汾淖见，人言盘涡耳”，其中“汾淖”就是大漩涡的意思。公元1500年左右，著名的艺术家和科学家LeonardodaVinci已经认识到湍流这种特定流动状态的存在，他在一幅绕钝体流动的草图旁写到“……水中有涡运动，一局部来自主流，另一局部那么是随机运动和逆流运动。”“……最小的涡几乎不计其数，大涡的旋转只受大涡影响，与小涡无关；小涡的旋转那么同时受小涡和大涡的影响”。1877年，学者J.Boussinesq假定湍流应力线性正比于平均应变，提出了著名的涡粘性的概念，直到今天，仍然是大多数湍流雷诺应力模型和亚滤波尺度模型的根底。1883年，学者O.Reynolds进行了著名的Reynold实验，演示了圆管绕流转换现象，同时提出了用雷诺数这一无量纲参数研究流态特征的思想。O.Reynolds本人将湍流看作是规律性的层流受到扰动后出现的随机无规那么的“曲折运动”〔sinuousmotion〕。在随后的1894年，O.Reynolds又将湍流分解为平均量和脉动量，并对瞬态的N-S方程取时均得到著名的雷诺时均NS方程〔RANS:Reynolds-AveragedNavier-Stokesequations〕，而引入至今仍然是最广泛采用的湍流计算方法。从此湍流正式进入流体力学研究的视野。1920年到1930年，将湍流看做平均流动加上随机脉动的仍然是湍流研究的主流思想，以此为根底主要的研究工作是采用Boussinesq假定的半经验涡粘性模型来模拟湍流应力，以L.Prandtl的混合长度理论为代表。值得一提的是1922年，L.F.Richardson提出了湍流的能量级串〔energycascade〕的概念。各种文献中通常引用L.F.Richardson书中的一首著名的小诗来描述这一概念：Bigwhorlshavelittlewhorls,Whichfeedontheirvelocity,Andlittlewhorlshavelesserwhorls,Andsoontoviscosity(inthemolecularsense)L.F.Rcihardson的能量级串的概念表达了非凡的物理洞察力，暗示了湍流几个重要性质：首先，湍流从平均流中吸收动能，将其从大尺度运动向小尺度运动逐级传递，一直到分子粘性其显著作用的尺度，并在这种小尺度中被耗散为热能；其次，湍流能量级串过程中，大小尺度之间的相互作用具有尺度不变性〔或标度对称性〕，即能量在不同尺度间的传递方式是自相似的；第三，暗示了能量传递的耗散性和不可逆性；第四，揭示了湍流中存在的多尺度现象，即流动中存在丰富的尺度，最大尺度和最小尺度相差较大；第五，揭示了湍流动能耗散发生在最小尺度，而能量传递的过程那么由大尺度决定。1941年，A.N.Kolmogorov对能量级串进行量化，得到了最小耗散尺度、惯性子区和速度结构函数的标度律等几个非常重要的结果。1935年，G.I.Taylor开创用统计方法描述湍流。在随后的整个1940年代，湍流统计描述是湍流研究的主流，上述A.N.Kolmogorov的理论是这些工作的代表。G.I.Taylor在1935年提出了均匀各向同性湍流的概念，而A.N.Kolmogorov的理论指出，高雷诺数湍流的小尺度运动具有局部均匀各向同性的特征，从而使得均匀各向同性湍流的概念对描述高雷诺数湍流的小尺度运动具有较大的实际意义。事实上，现有的湍流统计理论的成果，绝大局部属于均匀各向同性湍流的成果。S.Corrsin〔1943年〕和A.A.Townsend〔1947年〕发现湍流剪切层外沿存在间歇现象。随后，上世纪六、七十年代的系列实验工作发现了湍流运动中大尺度相干结构的存在。相干结构的发现是湍流研究上的一个重大突破，彻底改变了湍流脉动是随机信号集合的传统观念，认识到湍流脉动包含着有序的漩涡结构。湍流的动能耗散发生在尺度最小的耗散尺度区。1949年，G.K.Batchelor和A.A.Townsend发现耗散尺度区的动能耗散不是均匀分布的，而是存在间歇性的。1990年，佘振苏等通过直接数值模拟发现，在均匀各向同性湍流的耗散尺度区，涡量分布存在明显的间歇性，并且最强的涡量结构呈现管状〔tube-like〕形态，同时期的其它一些工作也发现了这一点。2006年，Y.Kaneda等在超级计算集群“地球模拟器”上，用40963的网格对均匀各向同性湍流作直接数值模拟，同样观察到耗散尺度区涡量分布表现为清晰的管状结构。耗散尺度区的间歇性外表湍流动能耗散不是空间均匀分布的，1974年，分形几何学的创始人B.B.Mandelbrot提出了用分形几何描述的能量级串模型，认为湍流的能量耗散是以某种分形结构嵌入到三维流场之中。之后，学术界开展了基于分形和多重分形思想的湍流小尺度脉动模型。研究说明，湍流在许多方面表现出分形特征。湍流动能耗散率的间歇分布导致A.N.Kolmogorov的理论〔1941年〕所给出的p阶速度结构函数标度律：在p>3时不够准确，即存在所谓反常标度律。1962年，A.N.Kolmogorov本人首先考虑了能量耗散率的时间间歇性对标度率的修正。1993年，R.Benzi等发现了扩展自相似〔ESS:ExtendedSelfSimilarity〕关系，即任意p阶速度结构函数对q阶结构函数存在幂次关系。ESS在接近耗散尺度附近及雷诺数不太大、没有明显惯性子区时也成立，同一研究小组随后还发现了适用范围更广的所谓广义扩展自相似。1994年，佘振苏和他的学生E.Leveque提出了湍流的层次结构模型〔HierarchicalStructuresModel〕，得到了描述反常标度现象的SL标度律。湍流的平均动能耗散率是正的，因此总的动能级串效应将能量从大尺度向小尺度传递〔正级串〕，并最终在耗散尺度耗散为热。然而，在空间任意位置任意时刻，其局部的动能传递可能是想大尺度传递的〔逆级串〕，1991年，U.Piomelli等对直接模拟数据的分析说明，在每一时刻，动能的正级串和逆级串在空间分布上和强度上都是相当的，并且两者的强度都远大于平均动能耗散。1963年，E.N.Lorenz发现非线性动力学系统存在混沌〔Chaos〕现象，即初值的细微扰动会导致解长期行为的巨大差异。确定性的非线性动力学系统，由于对初值的敏感，其解表现出类似随机现象的无规那么性。混沌动力学的观点被迅速用于解释湍流现象。概括地说，目前得到的充分开展的湍流图像大致可以描述为：湍流是复杂的非线性多尺度系统，最大最小尺度之间差异较大，但最小的耗散尺度仍然满足连续性假设。湍流能量从大尺度向小尺度逐级传递，并在耗散尺度耗散为热。平均能量传递主要由含能尺度决定，小尺度只是气动平衡传入动能的作用。在任意时刻空间任意位置的局部能力级串可能是从大尺度向小尺度传递〔正级串〕，也可能是从小尺度传递到大尺度〔逆级串〕，但总的平均动能级串总是正的。各种尺度的湍流运动具有不规那么性合随机性，同时也存在大尺度相干结构。湍流本质上是三维、非定常和有旋的，具有使耗能和扩散〔混合〕得到增强的特点。湍流在许多方面表现出分形和多重分形的特征。作为复杂的非线性多尺度系统，湍流表现出对初值和扰动敏感的混沌动力学特征。湍流在时间和空间上都表现出间歇性的特征，耗散尺度的涡量在空间呈现一维管状分布。高雷诺数湍流的小尺度运动具有普适性特征，并且存在动能输入和输出平衡的惯性子区。惯性子区的湍流统计行为表现出自相似性等对称性。二、湍流的研究方法湍流的研究方法包括理论研究、实验研究和数值模拟研究，分别概述如下。2.1湍流的理论研究现有的研究成果认为瞬态Navier-Stokes方程包含了湍流的全部信息。然而，N-S方程是一个高阶非线性的微分方程，对其求解存在数学上的困难。O.Reynolds首先把流动分解为平均流场和脉动流场两局部，并导出了控制平均流动的方程，但方程不封闭。为了解决这一困难，人们从两条不同的路径出发，这就是湍流的统计理论和模式理论。2.1.1湍流的统计理论将经典的流体力学与统计方法结合起来研究湍流就产生了湍流的统计理论。该理论把研究的重点放在湍流的脉动上，认为湍流脉动在时间和空间上都是变化剧烈的随机运动，需要像统计物理学中对气体分子运动的研究那样，通过建立不同随机量的关联函数，得到随机变量的统计特性，以此了解湍流的内部结构，掌握湍流平均流变量得空间分布与时间演变。1921年，G.I.Taylor首先提出两点间脉动速度相关矩的概念，为了简化问题1937年又引进了一种最简单的理想化的湍流模型：均匀各向同性湍流。事实上，并不存在精确的各向同性湍流。1938年，VonKarman和L.Howarth导出了含有二阶、三阶脉动速度关联系数的均匀各向同性湍流动力学方程式，即著名的Karman-Howarth方程。1941年，Kolmogorov提出许多在高雷诺数下的整体各向异性的湍流，其中一局部小尺度涡的统计平均性质近似是各向同性的假设，即局部各向同性假设。1938年G.L.Taylor和1948年W.Heisenberg分别由关联函数和谱函数间的关系，给出一维和三维湍流谱，导出Karman-Howarth方程在谱空间相应的形式。该方程是线性的，但在一个方程中含着两个未知数，封闭性依然没有解决。湍流统计理论的实用性有限，但对湍流机理的研究奉献很大。目前湍流统计理论的重要性已经下降，但所开展出的一系列概念和方法仍然在使用。2.1.2湍流的模式理论目前，大量用于工程中湍流计算的是湍流模式理论。该理论以Reynolds时均运动方程与脉动运动方程为根底，通过一定的假设对方程进行封闭。该方法能给出工程应用中感兴趣的物理量，具有较强的实用性，但并不能考虑湍流脉动运动本身的特点及脉动的结构问题，回避了湍流脉动运动的具体形式，因而在理论上是不严密的，对湍流机理的奉献很有限。方程中出现的一些参数，只能依靠经验确定，而且普适性较差。湍流模式理论最早可追溯到1872年。Boussinesq在分子运动论思想的启发下，首先通过湍流切应力与分子粘性应力类比，提出了著名的用涡粘性系数表征湍流切应力的观点。在此根底上，与气体分子自由运动长度类似，1925年Prandtl提出湍流混合长度理论。该理论认为在湍流混合长度内，被输运的流体动量保持不变，进而给出了由混合长度和时均速度梯度表示的雷诺应力表达式。1930年，Karman提出了局部相似理论，1932年Taylor提出了涡量输运理论。这些研究形成了湍流模式中一类重要的模型，即涡粘性系数模型。这些理论的根本思想都是把二阶相关量用平均量的梯度和涡粘系数的形式表达出来，使方程封闭。根据模型中所含微分方程中的个数，涡粘性模型可分为零方程模型〔如混合长度模型、Boldwin-Lomazx模型〕、一方程模型〔如Johnson-King模型，仅保存湍流动能方程为微分方程〕和两方程模型〔如标准k-ε模型〕。后来人们意识到涡団的输运过程不仅仅与其本身当时、当地的状态有关，而且与其开展的历史、流动的边界条件有关，而且涡粘性系数是各向同性的，所以涡粘性系数模型在物理概念上是有缺陷的，因而远不是普适的。研究说明，涡粘系数类模型对于槽道湍流、边界层湍流、混合层湍流等平衡湍流是有效的，但现实中的湍流场绝大多数都处于非平衡态或非定常状态，应用涡粘系数类模型求解这类流动，往往得不到预期效果。涡粘系数模型不能用于非平衡湍流的主要原因是，在比照分子粘性应力与雷诺应力时，人们认为比分子尺度大得多的流体微团脉动引起了雷诺应力。但是应该注意的是：流体微团具有比分子大得多的空间尺寸，这一区别使得二者在动量交换过程中具有不同的特征时间尺度。因为分子尺度足够小，特征时间尺度也很小，可以认为分子碰撞是瞬时完成的，因而动量交换没有涉及时间滞后问题。但是对于流体微团，由于是具有一定体积的流体，它们在不同层间的碰撞、动量交换不可能向分子那样瞬间完成，而应该有一个时间滞后的过程，即雷诺应力应该与大尺度变形率之间存在时间滞后，这个时间滞后在有周期的流动中表现为相位差。对于平衡湍流，其特点是各物理量的时均值沿流动变化不大，在上游与当地湍流特性根本一样。因此，平衡湍流的特性主要与当地的流动特性有关，雷诺应力与大尺度变形率之间的相位差没有表现出来，在这种情况下，涡粘系数模型的效果较好。而对于非平衡湍流，由于湍流特性除了与当地的流动特性有关，还与其历史有关，也就是与上游的情况有关，在这种情况下，就应该考虑涡粘系数模型的形式需包含相位信息的问题。上述涡粘性模型是根据各向同性的湍流动力粘度系数来计算湍流应力的，难以考虑旋转流动及流动方向外表曲率变化的影响，为了克服这一缺陷，有必要直接对湍流脉动应力及湍流热流密度直接建立微分方程进行求解。在这些二阶项的微分方程中会出现三个脉动值乘积的时均值，对这些高阶项采用模拟的方式近似处理。文献中称为二阶矩模型〔second-ordermodel〕或二阶模型〔second-ordermodel〕。在这种模型中，Renolds应力和平均速度的关系隐含在联立的偏微分方程组中，能够反映一些较为复杂的物理机制，也可以较为准确地考虑各向异性效应，因此在多数情况下能够得到较好的湍流模拟效果。不少研究者认为这是目前最有开展前途的湍流模型。无论怎样的模式，其形式都需要建立在对湍流现象充分了解的根底上，通过引入一些假定将湍流脉动产生的雷诺应力与低阶时均量建立联系。这些假定包括：1〕湍流量得扩散和其梯度成正比；2〕所有湍流量均可由脉动速度、压力、密度、粘性系数、热扩散系数、脉动速度的二阶关联、脉动速度与脉动温度的二阶关联、湍流动能等量来表示；3〕湍流尺度是湍流动能和湍流动量耗散率的函数；4〕小涡是各向同性的，其尺度由湍流动能耗散率和粘性系数来表示。建立湍流模式的原那么为：1〕建立的模式必须满足张量的对称性、不变性合转置性；2〕模式中出现的常数由实验确定。2.2湍流的实验研究实验方法是一直是湍流研究的根本手段之一。二十世纪六十年代以来，湍流实验技术有了很大的开展，也取得了丰硕的成果。例如实验发现湍流大尺度逆序结构的存在，是湍流研究上的一个重大突破，颠覆了传统上湍流脉动是随机信号集合的观念，认识到湍流脉动包含着有序的漩涡结构。然而，以目前的实验技术水平，根本上只能得到固定空间点的时间序列数据，再通过Taylor假设〔Taylor冻结假定，即在整个湍流场中湍流的空间结构是被“冻结”的，并以当地平均速度向下游迁移〕得到空间关系，而由此带来的误差并完全清楚。另外，实验方法也难以将各种影响因素别离开来。将湍流实验的主要研究成果综述如下。在早期的湍流实验中，Reynolds将湍流看作随机无规那么的运动，首创统计平均的方法将湍流流场分为时均场与脉动场，由此导出各阶统计矩方程。这种方法虽然得到了一些成果，促进了湍流研究的开展，然而它采用的时空平均的方法，将一些规那么和不规那么的脉动成分一起过滤掉。20世纪40年代，Corrsin在实验中发现湍流流场与非湍流场之间存在一个明显的界面，并且发现尾迹流动中脉动的间隙现象，于是人们推测在湍流脉动中可能存在其特殊作用的大尺度涡结构。50年代，流动显示技术成为湍流实验研究的有力工具。Towsend在圆柱尾流中沿着流动方向测量横向二阶速度关联，得出尾迹流中的大涡结构是有序的结论，并且在此根底上提出“大涡假设”，给出了湍流中存在处于能量平衡状态中的大涡结构和含能的统计结构。Grant在Towsend的大涡假设的根底上进一步研究二维尾迹流，发现尾迹流中大尺度结构比想象的更加有序，而且尾迹流中包含有两种大尺度结构，一种是涡的配对，两排涡一个接一个地以相反方向旋转；二是一系列流体从尾迹流中心射向外缘。进入60年代，人们通过流动显示的方法，在湍流边界层和湍流混合层中发现了大尺度逆序运动，也称相干结构，它是近代湍流研究的重大进展之一。逆序结构的发现改变了人们对湍流运动的传统认识，湍流脉动不是完全不规那么的随机过程，而是在不规那么的脉动中包含可识别的有序大尺度运动。这种有序的大尺度运动随机地出现在切变湍流中，它们是湍流产生的主要中介。实验还发现湍流边界层的外区还存在着另一类大尺度的结构，1972年Blackwelder等给出了外区大尺度结构的示意图，并发现湍流边界层内、外区的相干结构强烈地相关。Antonia等给出了湍流边界层中不同雷诺数下经过相位平均后大尺度逆序结构的流线图及等涡线图，第一次给出了大涡的全貌。2.3湍流的数值模拟基于连续介质假设和全场可微假设得到的瞬态Navier-Stokes方程被认为包含了湍流的一切信息，而且方程本身是封闭的。虽然迄今为止还没有建立起完整的湍流理论体系，但计算机硬件的开展却使湍流的数值模拟得到极大的开展。所以可以采用数值的方法，基于N-S方程或者其他简化的湍流模型进行求解，得到极其复杂流场内各个位置上的根本物理的分布及随时间的变化情况。计算流体动力学〔ComputationalFluidDynamics，简称CFD〕是通过计算机数值计算和图像显示，对包含流体流动、热传导等相关物理现象的系统所做的分析。其根本思路为：把在时间域及空间域上连续的物理量〔如速度、温度、压力等〕，用一系列有限个离散点上的变量值得集合代替，通过流动的根本方程建立这些离散点上变量之间关系的代数方程组，然后求解代数方程组获得场变量的近似值。CFD最早出现于20世纪60年代，随后20年逐步形成专门的CFD咨询效劳行业，20世纪90年代以后CFD取得显著开展，到目前已经出现近百种各种类型的CFD软件，而且和设计制造过程的结合日益紧密，在航空航天、工业制造、大气和海洋环境和生物体内流场等几乎所有领域都有应用。2.3.1直接模拟〔directnumericalsimulation,DNS〕DNS是用三维瞬态的Navier-Stokes方程对湍流进行直接数值计算的方法。要对高度复杂的湍流运动采用N-S方程直接进行数值模拟，必须采用很小的时间与空间步长，才能分辨出湍流中详细的空间结构及变化剧烈的时间特性。DNS一直受到计算机速度与容量的限制，主要的困难在于湍流脉动运动中包含着大大小小不同尺度的涡运动。大小尺度的比值随着雷诺数的增高而迅速增大。为了模拟湍流运动，一方面计算区域的尺寸应大到足以包含最大尺度的涡，而计算网格的尺度应小到足以分辨最小涡的运动；另一方面，计算要模拟的时间长度应大于大涡的时间尺度，而计算的时间步长应小于小涡的时间尺度。据此推算，对于雷诺数Re=105的湍流问题要在每秒运行1亿次得计算机上计算30年。对于这样的计算，其对内存和计算速度的要求非常高，现有的计算机能力还是远远不够的，所以DNS还无法用于工程计算。然而，在工程中一般并不关心每一点每一时刻的流程状态，而是只要满足一定能够的时间和空间分辨率即可，因此工程中对于湍流的数值计算问题，一般采用时均化得雷诺方程或对原始方程进行空间滤波后的大涡模拟方程。2.3.2大涡模拟〔largeeddysimulation,LES〕按照湍流的涡旋学说，湍流的脉动与混合及流场中各个物理量的输运主要是大涡造成的。大尺度的涡从主流中获取能量，它们是高度各向异性的，随着流场动情形和边界条件的变化而各异。各个大尺度的涡的结构互不相同，而小涡那么几乎不受边界条件和流场情况的限制，其主要作用是耗散流场中的能量，趋于各向同性。上述对涡旋的认识导致了大涡模拟的数值解法，该方法旨在用非稳态的Navier-Stokes方程来直接模拟大尺度的涡，而通过建立模型近似考虑小尺度涡对大涡的影响。这种影响称为亚格子Reynolds应力〔subgridReynoldsstress〕。大多数亚格子Reynolds应力模型都是建立在涡粘性〔eddyviscosity〕的根底上，即把湍流脉动所造成的影响用一个湍流粘性系数来近似考虑。常用的亚格子尺度模型有标准的Smagorinsky模型、动态模型、结图1湍流多尺度及能量级串图像构函数模型、尺度相似和混合模型、高阶模型和壁面模型等，合理的亚格子模式是成功实现湍流大涡模拟的关键，而亚格子模式的建立依赖于人们对可解尺度和亚格子尺度之间湍流输运关系的正确认识。湍流的多尺度特性正是认识这种输运关系的难点所在，特别是在壁湍流中，在壁面附近存在大尺度的逆序结构，如果不能准确预测逆序结构就不能准确地模拟湍流。目前LES技术尚未成熟，距离应用于实际工程还有很远的一段距离。2.3.3雷诺时均模拟〔Reynolds-AveragingNavier-StokesEquations,RANS〕RANS方法通过将非稳态控制方程对时间作平均，在所得出的关于时均物理量的控制方程中包含了脉动量乘积的时均值等未知量，于是所得的方程数目小于未知量的个数。而且不可能依靠进一步的时均处理而使控制方程组封闭。要使方程组封闭，必须对高阶项即高阶脉动量乘积的时均值作出假设，使之与方程组中低阶项建立关系。上文已经指出，在Reynolds时均方程法中，又有Reynolds应力方程法及湍流粘性系数法〔或涡粘性系数法〕两大类。在Reynolds应力方程法中，对于时均过程中引入的两个脉动乘积的时均量再建立微分方程。在建立两个脉动值乘积的时均值方程的过程中，又会引入三个脉动值乘积的时均值，为了使方程组封闭，又需对三个脉动值乘积的时均值建立微分方程，而这一过程又出现了四个脉动值乘积的时均值，在理论上这是一个不封闭的困难。目前常用的Reynolds应力方程是对两个脉动值乘积的时均值建立微分方程，而对三个脉动乘积的时均值建立近似模型，即二阶矩模型。湍流粘性系数法是根据Boussinesq假设或引入非线性修正的本构模型，将湍流脉动引起的附加应力通过湍流粘性系数与时均应变率联系起来，从而使方程组封闭。需要指出的是，CFD作为一种数值模拟方法，与理论分析和科学实验是相辅相成的。CFD数值分析的结果是流动区域内的离散解而非解析解，从单个结果无法看出参数变化的趋势，这是其与理论分析方法的一种重要的区别，但大多数实际问题要得到理论解或解析解是非常困难的，要解决实际问题必须依赖科学实验或数值分析。与实验相比，CFD能用较少的花费就可以得到流场细节，可在较广泛的流动参数范围内较快地给出流场的定量结果，而不受实验中固有约束条件的影响。当然CFD结果的正确性和可靠性依赖于对于实际问题的正确描述，目前CFD技术遇到的主要困难之一是对紊流的认识和描述还远未完善。三、CFD中常用的湍流模型本节分别针对上述常用的三种数值模拟方法，给出CFD计算时常用的湍流模型，其分类树如图2所示。3.1DNS法的湍流模型DNS法认为三维瞬态Navier-Stokes方程包含了湍流的一切信息，而且三维瞬态Navier-Stokes方程本身是封闭的，所以通过设置足够小的空间和时间步长来分辨湍流详细的空间和时间结构。运动的流体除了承受法向的定常压力之外，还承受着随时间变化的剪应力。对于牛顿流体，其本构关系如下：式中表示流体中任一点的应力张量；表示静止流体中的压强，又称热力学压强；成称为第一黏性系数〔或物理黏性系数〕；称为第二黏性系数，反映体积变化引起流体偏离热力学压强的黏性力，除了高温高频声波极端的情况下，一般气体运动中，近似取〔常称斯托克斯假设〕；为运动变形率张量的迹，应力张量中项表示由体积膨胀〔或压缩〕率引起的各向同性的黏性应力；偏应力张量表示由运动变形率引起的黏性应力。对流体内的任一固定体积元〔Euler描述法〕dV，由牛顿第二定律可得其平衡方程如下：其中，为作用在流体单位质量上作用力分量；为体积元dV内部的应力张量。根据式3-1和式3-2可得牛顿流体的运动方程，称为Navier-Stokes方程：二阶矩模型湍流的数值模拟二阶矩模型湍流的数值模拟Lagrange描写法Euler描写法RANS法湍流粘性系数法Reynolds应力方程法零方程模型一方程模型两方程模型常数混合长度理论标准k-ε模型低Re数k-ε模型LES法标准Smagorinsky模型动力亚格子模型高阶模型DES法瞬态N-S方程图2CFD中常用的湍流模型分类树式3-3的左端是流体微团的加速度，右端各向的物理含义如下：——作用在流体微团上单位质量流体的质量力；——作用在流体微团上单位质量流体的压强合力；——作用在流体微团上单位质量流体的黏性体积膨胀力；——作用在流体微团上单位质量流体黏性偏应力张量的合力。3.2LES法的亚格子模型LES是对N-S方程进行空间平均的方法，得到空间过滤后的三维非稳态湍流流场，其中大尺度的湍流可以直接求解，而小尺度的耗能涡通过建立模型近似模拟，这种小尺度涡模拟所需的湍流模型常称为亚格子模型〔subgridscalemodel,SSG〕。空间平均〔或滤波〕后，流体变量被分解为大涡局部〔直接求解〕和小涡局部〔湍流模拟〕，即式中，表示经过单元平均后的大涡变量：式中，表示滤波函数〔FilterFunction〕，常用的滤波函数见表1。表1常用的滤波函数将上述滤波函数作用于式〔3-3〕Navier-Stokes方程可得到LES的控制方程，即滤波NS方程组〔FNS:FilterNavier-Stokesequations〕：式中，为亚格子应力，表示了湍流中尺度小于过滤尺度的湍流作用，其表达式为3.2.1标准Smagorinsky模型〔涡粘模型〕1963年，气象学家Smagorinsky提出了大涡模拟中的亚格子尺度模型，属于涡粘模型〔SGSModel〕。与RANS方法类似，采用Boussinesq湍流涡粘性假设，亚格子应力可以表示为：对于涡粘系数，该模式做了一种所谓的混合长度假设，即涡粘系数与亚格子尺度的特征长度尺度和基于滤波变形张量的第二不变量的特征湍流速度梯度成正比，式中，为局部应变率，其中为过滤场的变形张量；为无量纲的模型系数，在标准Smagorinsky模型中是一常数，滤波宽度是最小可求解涡的长度尺度，，其中、和分别是在、和方向上的计算网格宽度。尽管该模型对于没有平均应变的均匀湍流，可以预测大多数的低阶统计量。然而该模型存在很大的缺陷，使其适用范围受到限制。首先，作为常数处理是与实际工程中的复杂湍流现象不符的。其次，对于具有强剪切的均匀湍流，有能量明显地从小尺度涡传到大尺度涡的过程。此时，亚格子尺度湍流不总是耗散大尺度涡的能量，因而建立在小涡从大涡消耗能量根底上的涡粘性模型准确模拟。另外，在壁面附近的粘性底层、在层流到湍流的转换阶段，涡粘性系数都应该趋于零，而在标准Smagorinsky模型中没有考虑这些问题。标准Smagorinsky模型中也没有考虑壁面有吹吸等非平衡湍流的情况。3.2.2动力亚格子模型〔动态模型〕标准Smagorinsky模型必须假定模型常数，该系数和流动的流态、网格分辨率、滤波宽度等因素有关，也是一个待求量。显然如果不事先假定模型常数，而在模拟过程中动态地生成，这样可以提高模型的模拟的精度，这就是动力亚格子模型的思想。最有名的动态模型由Germano等于1991年提出，其形式为：其中，，。为了增强计算的稳定性，Lilly于1992年给出了目前应用最广泛的动态模型的形式：在动态模型中，可能变为负值，虽然出现负值代表了能量的反级串过程，是该模型的一个优点，然而过大的负涡粘系数会使数值模拟过程不稳定，常常会出现大尺度能量的非物理增加。另外，由于附加了一些方程，使得动态模型的计算量远高于标准Smagorinsky模型。3.2.3高阶模型在亚格子应力模型的构造中，引进一些用于RANS法的代数模型的处理方法，对涡粘性系数引进，如一方程模型：其中q和l是湍流的特征速度和长度尺度，为系数。模型中给出了特征长度，并将湍动能的偏微分方程同平均流场的方程一起求解，但计算结果说明，该模型并未带来多大的改善。目前较为广泛使用的是k-ε方程，特征长度和耗散用下式联系：式中为系数，然后导出的动力学方程，并和其它的方程联立求解，这种模型称为两方程模型。一般来说，在RANS法中开展起来的方法都也快用于亚格子尺度模型，但这类模型的计算量都很大。3.3RANS法的湍流模型RANS法通过对非稳态控制方程作时间平均，而得到物理量时均值的控制方程，然而由于非稳态控制方程的非线性性质，使得时均方程中存在脉动值乘积的均值项，所以时均值的控制方程不封闭。一个多世纪以来，为了对Reynolds时均方程进行封闭，需要建立湍流模型，应用最为广泛的湍流模型大致可以分为两大类：Reynolds应力方程法，湍流粘性系数法〔或涡粘性法〕。下面分别简要给出应用比较广泛的湍流模型。3.3.1Reynolds应力方程法该方法指对时均方程中引入的两个或更多脉动值乘积的时均项直接建立微分方程，对方程中的高阶项建立湍流模型近似考虑。早在20世纪40年代，我国科学家周培源就导出了世界上第一个计算湍流的17方程模型。本节着重介绍对时均过程中形成的两个脉动值的乘积的时均值〔及〕建立微分方程，直接求解，而将三个脉动值乘积的时均值〔〕采用湍流模型近似考虑，称为二阶矩Reynolds应力模型〔second-momentReynoldsstressmodel〕或二阶模型〔second-ordermodel〕。将瞬时速度表示成时均值和脉动值之和，并对瞬态的Navier-Stokes方程取时均可得时均形式的连续性方程：时均形式的Navier-Stokes方程，即Reynolds时均方程：从Navier-Stokes方程中减去Reynolds时均方程式〔3-16〕，可得脉动速度的方程为：上式同样可以对j方向写出：以，再取时均值，经整理可得以下湍流应力方程：其中——应力产生项——压力应变再分配项——扩散项由上推导可见，为了得到的微分方程，我们引入更高阶项及压力脉动值与速度脉动值乘积的时均值，因而方程不封闭，必须补充湍流模型把三阶量与低阶量及时均变量联系起来的方程，采用不同的湍流模拟方程，可以得到不同的二阶应力方程模型。下面列出两种三阶项的的模拟方程：3.3.2湍流粘性系数法Boussinesq〔1877〕假设，湍流脉动所造成的附加应力与层流运动应力那样同时均应变率关联起来。我们知道，层流时联系流体应力和应变率的本构方程〔constitutionequation〕为：其中，是分子扩散造成的动力粘性。Boussinesq假定认为湍流脉动所造成的附加应力也应与层流运动应力那样可以同时均的应变率联系起来，那么湍流脉动所造成的应力可以表示为：上式各物理量都是时均值,表示湍流粘性系数〔turbulenceviscosity〕。是脉动速度所造成的压力，定义为：其中，k是单位质量流体的脉动动能:引入Boussinesq假设以后，计算湍流流动的关键就在于如何确定湍流粘性系数，所谓的湍流模型就是把与湍流时均参数联系起来的关系式。依据确定微分方程数目的多少，又有零方程模型、一方程模型及两方程模型等。a)零方程模型所谓零方程模型就是指不需要微分方程而是用代数关系把湍流粘性系数与时均值联系起来的模型。常见的有常系数模型和Prandtl混合长度理论。常系数模型：对于自由剪切层，如射流，Prandtl提出同一截面上为常数。式中，为剪切层厚度；与为同一截面上的最大与最小流速。Prandtl混合长度理论〔mixinglengththeory〕：在二维坐标系中，湍流切应力表示为：式中，u为主流的时均流速；y是与主流方向相垂直的坐标；为混合长度，是该模型中需要确定的参数。b)一方程模型在混合长度理论中，仅与几何位置及时均流场有关，而与湍流的特性参数无关，混合长度理论应用的局限性启发我们湍流的粘性系数应当与湍流本身的特性量有关。Prandtl及Kolmogorov将湍流脉动造成的附加应力的过程与分子扩散造成的应力过程相比较，认为湍流粘性系数应当与湍流的特性速度及脉动的特性尺度的乘积有关，于是提出了的计算式：式中，为经验系数；为湍流的脉动动能，见式〔3-20〕；为湍流脉动的长度标尺。为了确定湍流脉动动能k，需要建立关于k的微分方程。可以从k的定义〔式〔3-20〕〕出发，通过对瞬态Navier-Stokes方程及其时均的形式作一系列运算而得到。K方程的最终形式如下：式中，为脉动动能的Prandtl数，其值在1.0左右；系数需要根据经验取值。c)两方程模型在一方程模型中长度标尺是由经验给出的。其实长度标尺也是一个变量，需要建立微分方程求解。通常做法的是通过