考研数学一(数理统计)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一（数理统计）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1.选择题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为()A．N(0，1)B．t(1)C．X2(1)D．F(1，1)正确答案：B解析：考查产生t分布的典型模式由于Xi服从N(1，σ2)，i=1，2，3，4，且相互独立，所以X1-X2服从N(0，2σ2)，X3+X4-2服从N(0，2σ2)．于是服从N(0，1)，服从N(0，1)．知识模块：数理统计2．设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体X的简单随机样本，统计量，则有()A．E(T1)＞E(T2)，D(T1)＞D(T2)B．E(T1)＞E(T2)，D(T1)＜D(T2)C．E(T1)＜E(T2)，D(T1)＞D(T2)D．E(T1)＜E(T2)，D(T1)＜D(T2)正确答案：D解析：故D(T1)＜D(T2)，从而应选D．知识模块：数理统计3．设总体X和Y相互独立，且都服从N(μ，σ2)，分别为总体X与Y的样本容量为n的样本均值，则当n固定时，概率的值随σ的增大而()A．单调增大B．保持不变C．单调减少D．增减不定正确答案：B解析：故应选B知识模块：数理统计4．设总体X服从N(μ，σ2)，分别是取自总体X的样本容量分别为10和15的两个样本均值，记p1=，则有()A．p1＜p2B．p1=p2C．p1＞p2D．p1=μ，p2=6正确答案：C解析：因为由于Ф(x)是单调增加的，所以p1＞p2，应选C．知识模块：数理统计5．设总体X服从N(μ，σ2)，与S2分别为样本均值和样本方差，n为样本容量，则下面结论不成立的是()A．B．C．D．正确答案：D解析：正态总体抽样分布中，与S2是相互独立的，故A、B、C选项结论都是正确的，只有D是不成立的．知识模块：数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6．设X1，X2，…，X6是来自正态总体N(0，32)的一个简单随机样本，求常数a，b，c使T=aX21+b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2服从X2(3)．正确答案：由题意X1服从N(0，32)，X2+X3服从N(0，18)，X4+X5+X6服从N(0，27)，于是从而a=1/9，b=1/18，c=1/27解析：考查产生X2分布的典型模式．X2分布是由相互独立的服从标准正态分布的随机变量序列的平方和得到的，按照该定义，求出a，b，c．知识模块：数理统计7．设随机变量X服从t(n)，判断Y=X2，Z=1/X2所服从的分布．正确答案：由于X服从t(n)，设U服从N(0，1)，V服从X2(n)，且Y与Z相互独立，则X可表示为，于是解析：考查产生F分布的典型模式．知识模块：数理统计8．设和S2分别是来自正态总体N(0，σ2)的样本均值和样本方差，样本容量为n，判断所服从的概率分布．正确答案：涉及知识点：数理统计9．设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，σ2)，而X1，X2，X3与Y1，Y2，Y3，Y4分别是来自总体X和Y的两个简单随机样本，判断统计量服从的分布．正确答案：由正态总体的抽样分布．涉及知识点：数理统计10．已知二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布N(0，1，22，32，0)，判断服从的概率分布．正确答案：由题意X服从N(0，22)，Y服从N(1，32)，且相互独立，解析：由随机变量F的形式可推断其服从F分布．知识模块：数理统计11．设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，9)，而X1，…，X9与Y1，…，Y9分别是来自总体X和Y的两个简单随机样本，判断统计量所服从的分布．正确答案：涉及知识点：数理统计设X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自总体X的一个简单随机样本，．在下列四种情况下，分别求．12．X服从B(1，p)；正确答案：由于样本X1，X2，…，Xn(n＞1)是相互独立的，并且与总体服从相同的分布，从而这说明，不论总体服从何种分布，只要期望和方差都存在，则故涉及知识点：数理统计13．X服从E(λ)；正确答案：涉及知识点：数理统计14．X服从N(μ，σ2)．正确答案：涉及知识点：数理统计15．设总体X服从N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn为取自总体X的一个简单随机样本，与S2分别为样本均值和样本方差，统计量求E(T)和D(T)．正确答案：由题意知，涉及知识点：数理统计16．设总体X服从N(μ1，σ2)，Y服从N(μ2，σ2)，又X1，X2，…，Xn2和Y1，Y2，…，Yn2分别为取自总体X和Y的简单随机样本．求正确答案：注：本题有多种解法，读者可自己练习思考，比较不同方法的解题效率．涉及知识点：数理统计17．设总体X服从N(μ，σ2)(σ＞0)，X1，X2，…，X2n(n≥2)为取自总体X的简单随机样本，样本均值为．求统计量的数学期望E(Y)．正确答案：将(X1+X2)，(X2+Xn+2)，…，(Xn+X2n)视为取自总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，则其样本均值为样本方差为由于，所以E(Y)=(n-1)·2σ2=2(n-1)σ2．涉及知识点：数理统计设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是一个样本，X，S2分别为样本均值和样本方差，设C1，…，Cn是不全相等的常数，且，18．判断所服从的分布；正确答案：涉及知识点：数理统计19．求正确答案：涉及知识点：数理统计20．求正确答案：涉及知识点：数理统计21．设X1，X2是取自正态总体X的简单随机样本，X服从N(0，σ2)，求正确答案：由已知，X1和X2都服从N(0，σ2)，从而X1+X2服从N(0，2σ2)，X1-X2服从N(0，2σ2)．解析：考查统计量所表示事件的概率，应从统计量的分布入手，再计算概率．知识模块：数理统计22．从总体N(100，4)中抽取样本容量为16的简单随机样本，样本均值为，求k的值．正确答案：由已知服从N(0，1)．从而Ф(2k)=0．975，2k=1．96，k=0．98．注：标准正态上α分位数U0.025=1．96．涉及知识点：数理统计23．设总体X的概率密度为又X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，为使P{min(X1，X2，…，Xn)＜π/12)≥15/16，则样本容量n应满足什么条件?正确答案：由已知，X的分布函数为由于从而n≥4．涉及知识点：数理统计24．设总体X的概率分布为其中θ(0＜θ＜1/2)是未知参数，利用总体X的如下样本值-1，0，0，1，1，求θ的矩估计值和最大似然估计值．正确答案：E(X)=(-1)×θ+0×(1-2θ)+1×θ=0．故利用一阶原点矩不能求出θ的矩估计值．因此利用二阶原点矩，E(x2)=(-1)2×θ+02×(1-2θ)+12×θ=2θ，又样本二阶原点矩从而令2θ=0．6，得θ的矩估计值为对于样本值-1，0，0，1，1，似然函数为L(θ)=θ(1-2θ)2θ2=θ3(1-2θ)2，取对数似然函数lnL(θ)=3lnθ+2ln(1-2θ)．令解得θ的最大似然估计值为解析：考查离散型总体参数的点估计法．利用总体矩与样本矩对应相等，可求出矩估计值，通过求似然函数的最大值，可得未知参数的最大似然估计值．涉及知识点：数理统计25．设某信息台在某一段时间内接到的通话次数服从参数为λ的泊松分布，现统计到42个数据如下：由此数据求未知参数λ的最大似然估计值．正确答案：设x1，x2，…，xn为一组样本值．似然函数取对数似然函数令得λ的最大似然估计量，代入观测数据，得λ的最大似然估计