(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数，则下列结论正确的个数是（）①的最小值为；②点是的图象的一个对称中心；③的最小正周期为；④在上单调递增.A． B． C． D．2．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形（）中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；然后在矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧，，的长度分别为，对于以下四个命题：①；②；③；④.其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④3．一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面（即长），巨轮的半径长为，，巨轮逆时针旋转且每分钟转一圈，若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为（）A． B．C． D．4．将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则()A． B． C． D．5．已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称6．已知曲线：，：，则下面结论正确的是（）A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线7．函数的递增区间是（）A．（） B．（）C．（） D．（）8．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积(弦×矢+矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)及圆弧两端点的弦(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于8米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为128平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为（）A． B． C． D．9．已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，则（）A．是奇函数 B．C．的一个周期是 D．的最小值小于010．已知是定义在上的奇函数，也是奇函数，当时，.若函数，则在区间上的零点个数是（）A．108 B．109 C．144 D．14511．有以下四种变换方式：①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；②向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；③再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；④再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；其中能将函数的图象变为函数图象的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④12．设函数.若对任意的实数都成立，且，在单调，则（）A．， B．，C．， D．，二、填空题13．以下关于函数的结论：①的图象关于直线对称；②的最小正周期是；③在区间上是减函数；④的图象关于点对称．其中正确的结论是__________________（写出所有正确结论的序号）．14．已知函数(，，)的部分图象如图所示.则函数的解析式为________.15．若函数对任意的都有，则的值是___________.16．已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是___________.17．______．18．函数的图象为，以下说法：（1）其中最小正周期为；（2）图象关于点对称；（3）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；（4）直线是其图象的其中一条对称轴．其中正确命题的序号是__________．19．如图，从气球上测得正前方的，两点的俯角分别为，，此时气球的高是，则的距离等于__________.20．函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是______.①的一个周期为；②的图象关于对称；③是的一个零点；④在单调递减；三、解答题21．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递减区间；（3）求在区间上的最大值和最小值22．已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）若在上有零点，求实数的取值范围.23．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的单调递增区间.24．已知函数，其，_____.（1）写出函数的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数的最大值和最小值.从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.25．如图，有一矩形空地，米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．边中点处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是，其中、分别在边，上．（1）若，求四边形的面积；（2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．26．已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】求出可判断①的正误；利用正弦型函数的对称性可判断②的正误；求出的最小正周期可判断③的正误；利用正弦型函数的单调性可判断④的正误.【详解】对于①，，，①正确；对于②，，所以，点不是的图象的一个对称中心，②错误；对于③，函数的最小正周期为，③正确；对于④，当时，，所以，函数在上单调递增.④正确.因此，正确命题的序号为①③④.故选：C.【点睛】关键点点睛：对于正弦型函数基本性质的判断问题，一般将函数解析式化为或，将视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质来求解.2．A解析：A【分析】设，则，再由圆弧分别求出，再逐项判断即可得正确选项.【详解】不妨设，则，所以，，所以，，所以，所以，故①正确；，，所以，故②正确；，，所以，故③不正确；，，所以，故④不正确；所以①②正确，故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，正确求出扇形的半径，利用弧长公式求出弧长即的值.3．B解析：B【分析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点的纵坐标减.【详解】如图所示，以点为坐标原点，以水平方向为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每分钟转一圈，则转动的角速度为每分钟，经过分钟之后，转过的角度为，所以，在转动的过程中，点的纵坐标满足：则吊舱距离地面的距离.故选：B．【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系；（2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型；（3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.4．C解析：C【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到的表示并计算出的结果.【详解】因为变换平移后得到函数，由条件可知为奇函数，所以，.故选C．【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数为奇函数时，为偶函数时.5．B解析：B【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为，可知，从而可求出，再由的图像向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，可得，从而可求出的值，然后逐个分析各个选项即可【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，故，，从而.设将的图像向左平移单位后，所得图像对应的解析式为，则，因的图像关于轴对称，故，所以，，所以，因，所以.又，令，故对称轴为直线，所以C，D错误；令，故，所以对称中心为，所以A错误，B正确.故选：B【点睛】此题考查了三角函数的图像变换和三角函数的图像和性质，属于基础题.6．C解析：C【分析】由题意利用诱导公式得，根据函数的图象变换规律，得出结论．【详解】已知曲线，，∴把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，故选C．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．7．C解析：C【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得由函数，再根据余弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案.【详解】由函数，令，整理得，所以函数的单调递增区间为，故选C.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．B解析：B【分析】求出弦长，再求出圆的半径，然后利用三角形面积求解．【详解】如图，由题意，弓琖的面积为，，，设所在圆半径为，即，则，解得，，由得．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查扇形与弓形的的有关计算问题，解题关键是读懂题意，在读懂题意基础上求出弦长，然后求得半径，从而可解决扇形中的所有问题．9．D解析：D【分析】利用奇函数的性质判断A，分别求和判断大小，取特殊值验证的方法判断C，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D。【详解】A.，所以函数不是奇函数；B.，，所以，故B不正确；C.，，所以函数的一个周期不是，故C不正确；D.，所以函数的周期,当时，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，综上可知，一个周期内的最小值是，因为，所以，即，所以的最小值小于0.故选：D【点睛】关键点点睛：本题是三角函数新定义，难点是读懂题意，判断最后一个选项的关键是求出函数的周期，并利用三角函数的性质，在一个周期内分区间段讨论函数值.10．D解析：D【分析】由题可得是周期为2的函数，进而判断是周期为2的函数，可求得，，，利用周期性即可求出零点个数.【详解】是定义在上的奇函数，也是奇函数，，，是周期为2的函数，的周期为2，是周期为2的函数，，，，则在区间上，,则在区间上的零点个数是个.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的应用，解题的关键是判断出是周期为2的函数，根据函数的周期性即可判断出零点的个数.11．A解析：A【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换求出结果.【详解】对于①：向左平移个单位长度得到，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到；故①正确；对于②：向左平移个单位长度得到，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到；故②错误；对于③：将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到，再向左平移个单位长度，得到；故③正确；对于③：将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到，再向右平移个单位长度，得到；故④错误；故选：A【点睛】关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a个单位长度那么相位就会改变ωa；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa，那么平移长度不等于a.12．A解析：A【分析】对任意的实数都成立，可得时函数取得最大值，则函数满足，，且在单调，再利用排除法可得答案.【详解】因为对任意的实数都成立，则时函数取得最大值，所以函数满足，，且在单调，对于A，若，，可得，，，，则在单调递增，故A符合题意；对于B，若，，可得，，故B不符合题意；对于C，若，，可得，，故C不符合题意；对于D，若，，可得，，故D不符合题意；故选：A.【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.二、填空题13．①②③【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误【详解】对于①所以的图象关于直线对称①正确；对于②的最小正周期是②正解析：①②③【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误.【详解】对于①，，所以，的图象关于直线对称，①正确；对于②，的最小正周期是，②正确；对于③，当时，，所以，函数在区间上是减函数，③正确；对于④，由①可知，④错误.故答案为：①②③.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数.14．【分析】由最值求得由周期求得由最高点的坐标求得【详解】由题意所以又所以所以故答案为：【点睛】方法点睛：由函数图象确定三角函数的解析式主要参考正弦函数图象中五点法由最大值和最小值确定由周期确定利用点的解析：．【分析】由最值求得，由周期求得，由最高点的坐标求得．【详解】由题意，，所以，，，又，所以．所以．故答案为：．【点睛】方法点睛：由函数图象确定三角函数的解析式，主要参考正弦函数图象中“五点法”，由最大值和最小值确定，由周期确定，利用点的坐标确定，这样可得出表达式．15．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A通解析：4或-4.【分析】由题意可得，故函数的周期为，求得；在中，令，求得，从而求得的值.【详解】∵函数对任意的都有，∴，故函数的周期为，∴，所以.∴.在中，令，可得：，即，∴.则.故答案为：4或-4.【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A通常用最大值或最小值；(2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.16．【分析】由周期公式可得由三角函数的中心对称可得结合即可得为奇数即可得由可得进而可得即可得解【详解】由可得由是奇函数可得函数的图象关于中心对称所以即又所以所以为奇数由可得因为在上没有最小值所以即故答案解析：【分析】由周期公式可得，由三角函数的中心对称可得，结合即可得为奇数，即可得，由可得，进而可得，即可得解.【详解】由可得，由是奇函数可得函数的图象关于中心对称，所以，即，又，所以，所以为奇数，，由可得，因为在上没有最小值，所以即.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.17．【解析】试题分析：将非特殊角化为特殊角的和与差是求三角函数值的一个有效方法考点：两角和的正弦解析：【解析】试题分析：将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.考点：两角和的正弦18．（1）（2）（4）【分析】根据正弦型函数周期公式正弦型函数对称中心坐标正弦型函数对称轴等知识逐项验证即可求得答案【详解】对于（1）根据正弦型函数周期公式：可得：函数最小正周期为：故（1）正确；对于（解析：（1）（2）（4）【分析】根据正弦型函数周期公式，正弦型函数对称中心坐标，正弦型函数对称轴等知识，逐项验证，即可求得答案．【详解】对于（1），根据正弦型函数周期公式：可得：函数最小正周期为：，故（1）正确；对于（2），根据正弦函数的图象的对称中心为正弦型函数令，解得其对称中心坐标为当时，对称中心坐标为，故（2）正确；对于（3），将的图象向右平移个单位长度可得：将的图象向右平移个单位长度不能得到图象，故（3）错误；对于（4），根据正弦函数的图象的对称轴方程为，正弦型函数令，解得当时，，一条对称轴，故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）．【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．19．【分析】由题意画出图形由两角差的正切求出的正切值然后通过求解两个直角三角形得到和的长度作差后可得答案【详解】由图可知在中在中河流的宽度等于故答案为：【点睛】本题给出实际应用问题求河流在两地的宽度着重解析：【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度，作差后可得答案．【详解】由图可知，在中，在中，河流的宽度等于故答案为：【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．20．①②③【分析】先由图像的平移变换推导出的解析式再分析函数的周期零点对称性单调性判断是否正确【详解】解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合的一个周期为故①正确；的对称轴满足：当时的图象关于对称解析：①②③【分析】先由图像的平移变换推导出的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确．【详解】解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，，的一个周期为，故①正确；的对称轴满足：，，当时，的图象关于对称，故②正确；由，得，是的一个零点，故③正确；当时，，在上单调递增，故④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．三、解答题21．（1）；（2）；（3）最小值为；最大值为.【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（2）解不等式，可得出函数的单调递减区间；（3）由求出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值和最大值.【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期；（2）由，得.即函数的单调递减区间为；（3）因为，所以，所以，当即时，函数取最小值，；当即时，函数取最大值，.【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22．（1）函数为奇函数，证明见解析；（2）.【分析】（1）求出函数的定义域，计算得出与之间的关系，由此可得出结论；（2）由可得出，，利用可得出，求出函数在上的值域，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）对于函数，有，即，解得，解得，所以，函数的定义域为，，所以，函数为奇函数；（2），，则，，所以，，令，可得，所以，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.23．（1）；（2）单调递增区间为，.【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的周期公式求周期；（2）根据正弦函数性质求单调区间，再取对应区间即得结果.【详解】（1），所以的最小正周期.（2）令，，则，因为，的单调增区间是，，由或，得：或，所