云南省昆明市五华区2024届高三上学期期中教学质量检测数学试题

秘密★启用前【考试时间：10月26日15：00—17：00】昆明市五华区2024届高三上学期期中教学质量检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．C．D．3．已知甲、乙两个班的学生人数分别为45人和55人，在某次考试中，甲、乙两个班的数学平均分分别为110分和90分，则这两个班全体学生的平均分为（）A．98分B．99分C．100分D．101分4．已知为等差数列，数列满足：，若，且，则（）A．26B．27C．28D．295．工厂需要将某种废气经过过滤后排放，已知该废气的污染物含量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（为污染物的初始含量），则污染物减少到初始含量的大约需要（参考数据：）（）A．B．C．D．6．已知函数在处有极小值，则的值为（）A．1B．3C．1或3D．或37．已知，若直线关于轴对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知，则（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一项比赛共有9位评委，选手完成比赛后，每位评委现场给出一个“初始评分”，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余7位评委的评分为“有效评分”．则下列叙述一定正确的是（）A．同一个选手的“初始评分的中位数等于”有效评分的中位数B．同一个选手的“初始评分”的下四分位数等于“有效评分”的下四分位数C．同一个选手的“初始评分”的平均数不低于“有效评分”的平均数D．同一个选手的“初始评分”的方差不低于“有效评分”的方差10．正方体棱长为2，直线与平面交于点为线段上的动点，则（）A．当为中点时，三点共线B．存在点，使C．直线与的夹角为D．四面体的体积为定值11．已知为坐标原点，点在抛物线上，经过点且斜率大于零的直线交于两点，点在第一象限，则（）A．的准线为B．以为直径的圆经过原点C．D．12．已知函数的定义域为，对于任意的，都有成立，则（）A．B．若，则C．一定是偶函数D．若，则三、填空题：：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在上的最大值是_________．14．第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办，中国国家队以201金、111银、71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首．此次亚运会的颁奖花束——“硕果累累”，由花材和花器两部分组成，如图1．其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花解，由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成，可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体，如图2．已知大圆台的两底面半径和高分别为，小圆台的两底面半径和高分别为，则该几何体的体积为_________．图1图215．向量在向量上的投影向量为，则的最大值为_________．16．已知椭圆的两个焦点为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的内切圆半径，则该椭圆的离心率为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）图1是由正方形和正三角形组成的一个平面图形，将沿折起，使点到达点的位置，为的中点，如图2．图1图2（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．18．（12分）记为数列的前项和，已知．（1）求；（2）若，记为的前项和，且满足，求的最大值．19．（12分）的内角的对边分别为平分且交于点．已知的面积为1．（1）若，求；（2）若，求．20．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：放置一张纸片在地面指定位置，其中一人在固定位置投篮，若篮球被篮板反弹后击中纸片，则本次游戏成功，此人继续投篮，否则游戏失败，换为对方投篮．已知第一次投篮的人是甲、乙的概率分别为和，甲、乙两人每次游戏成功的概率分别为和．（1）求第2次投篮的人是甲的概率；（2）记第次投篮的人是甲的概率为，（ⅰ）用表示；（ⅱ）求．21．（12分）设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为．（1）求的方程；（2）若为直线上的一动点，直线分别与交于点．求证：直线过定点．22．（12分）已知函数，其中．（1）若为增函数，求的取值范围；（2）若，证明：．昆明市五华区2024届高三上学期期中教学质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案DCBBCAAD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案ABDADBCDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．15．16．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）连交于点，连．由为正方形知为中点，又为中点，故，又平面且平面，所以平面．（2）取中点，连，由为等边三角形得．又平面平面，平面平面平面，所以平面，以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，平面就是坐标平面，故可取其法向量，设平面法向量为，由得，记平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．18．解：（1）当时，，解得，当时，，因为，所以，即，所以，所以，是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式为．（2）由题意知，所以，易知在上单调递增，而，所以满足的的最大值为12．19．解：（1）因为平分，所以．由面积公式得，得．由余弦定理得，所以．（2）因为，所以．设，则得，，所以．所以．20．解：（1）第2次投篮的人是甲包含两种情况：①第1次甲投篮且游戏成功，其概率为；②第1次乙投篮且游戏失败，其概率为，由全概率公式得第2次投篮的人是甲的概率为．（2）（ⅰ）第次投篮的人是甲包含两种情况：①第次甲投篮且游戏成功，其概率为；②第次乙投篮且游戏失败，其概率为，由全概率公式得，即．（ⅱ）由（ⅰ）得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即．21．解：（1）设，由题得，整理得，因为与点均不重合，故点和均不在轨迹上，即轨迹的方程为．（2）由题设，则直线的方程为，直线的方程为，联立，得，解得，同理得，当时，，直线的方程为，即，此时恒过；当时，解得，此时直线的