福建省泉州市秀江中学高三数学文模拟试题含解析

福建省泉州市秀江中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切,则该双曲线离心率等于A． B． C． D．参考答案：C略2.“x＜1”是“log2(x+)＜1”的A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B3.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入×个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方，记阶幻方的对角线上数的和为，如图1的幻方记为，那么的值为

（

）A.869

B.870

D.875

C.871参考答案：B

略4.若函数的最小值为，则实数a的取值范围为（

）A.a＜0 B.a＞0 C.a≤0 D.a≥0参考答案：D【分析】由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得恒成立，可解得a的范围．【详解】当时，f（x）＝，单调递减，∴f（x）的最小值为f(2)=1，当x＞2时，f（x）＝单调递增，若满足题意，只需恒成立，即恒成立，∴，∴a≥0，故选：D．【点睛】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，考查了指对函数的单调性，属于中档题．5.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：B6.为虚数单位的二项展开式中第七项为

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.实数的最大值为

（

）

A．—1

B．0

C．2

D．4参考答案：答案：D8.设，满足约束条件，若目标函数的最小值大于－5，则m的取值范围为（

）A．

B．

C.(－3,2)

D．(－∞,2)参考答案：C9.样本a1，a2，a3，…，a10的平均数为，样本b1，b2，…，b10的平均数为，那么样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，a10，b10的平均数是（

）A．+

B．(+)

C．2(+)

D．(+)参考答案：B10.下列函数中为偶函数的是(

)A．y= B．y=lg|x| C．y=（x﹣1）2 D．y=2x参考答案：B【考点】函数奇偶性的判断．【专题】证明题；对应思想；函数的性质及应用．【分析】根据奇偶函数的定义，可得结论．【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D非奇非偶．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，且为第二象限角，则的值为

.参考答案：12.“”是“”的

▲

.条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择填空）参考答案：必要不充分13.若一个几何体的三视图如右，则这个几何体的表面积为

参考答案：14._________．参考答案：115.已知点A（1，0），B（3，0），若直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，则k的取值范围是

．参考答案：【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】以AB为直径圆的方程为：（x﹣1）（x﹣3）+y2=0，把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k2）x2+（2k﹣4）x+4=0，根据直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，可得△≥0，解出即可得出．【解答】解：以AB为直径圆的方程为：（x﹣1）（x﹣3）+y2=0，把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k2）x2+（2k﹣4）x+4=0，∵直线y=kx+1上存在点P，满足PA⊥PB，∴△=（2k﹣4）2﹣16（1+k2）≥0，化为：3k2+4k≤0．解得0，则k的取值范围是．故答案为：．16.参考答案：17.设x，y，z∈R，且满足：x2＋4y2＋9z2＝3，则x＋2y＋3z的最大值为________参考答案：3

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），得到ln（1+）＜（﹣），累加即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令h（x）=﹣ax2+x﹣a，记△=1﹣4a2，当△≤0时，得a≥，若a≥，则﹣ax2+x﹣a≤0，f′（x）≤0，此时函数f（x）在（0，+∞）递减，当0＜a＜时，由﹣ax2+x﹣a=0，解得：x1=，x2=，显然x1＞x2＞0，故此时函数f（x）在（，）递增，在（0，）和（，+∞）递减；综上，0＜a＜时，函数f（x）在（，）递增，在（0，）和（，+∞）递减，a≥时，函数f（x）在（0，+∞）递减；（Ⅱ）证明：令a=，由（Ⅰ）中讨论可得函数f（x）在区间（0，+∞）递减，又f（1）=0，从而当x∈（1，+∞）时，有f（x）＜0，即lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），则ln（1+）＜（1+）﹣==（+）＜=（﹣），从而：ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）＜（1+）=，则有ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜，可得（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题．19.已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求取得最小值时的值.参考答案：【考点】等差数列的通项公式解析：（I）（II）20.已知的三个内角分别是，所对边分别为，满足。（1）求的值；（2）若，求的面积。参考答案：略21.（13分）如图，已知点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，=λ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：直线和圆的方程的应用．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据，|CM|+|CN|为定值，建立条件关系即可求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）根据直线和椭圆的位置关系，转化为一元二次方程问题即可．解答： 解：（1）易得B（2，0），M（﹣1，0），N（1，0），设P（x0，y0），C（x，y），则E（x0，），直线PA与BE交于C，故x≠±2，①且，②①②相乘得，又因为点P（异于A，B）是圆O上的动点，故，即，要使|CM|+|CN|为定值，则4﹣，解得，此时，（x≠±2），即时，点C的轨迹曲线E的方程为，（x≠±2），（2）联立，消x得（3m2+4）y2+24my+36=0，判别式△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4设Q（x1，y1），R（x2，y2，则Q′（x1，﹣y1），由韦达定理有直线RQ的方程为y=，令y=0，得x===将①②代人上式得x=1，又====当时取得．点评：本题主要考查直线和圆以及直线和圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力．22.（本小题满分12分）已知函数（1）当时,求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间.参考答案：解：当时，，

又，，所以在处的切线方程为

（2）当时，又函数的定义域为所以的单调递减区间为