湖北省黄冈市李时珍中学高三数学理期末试卷含解析

湖北省黄冈市李时珍中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数是偶函数的导函数，在区间(0,+∞)上的唯一零点为2，并且当时，，则使得成立的的取值范围是（

）A．(－2,2)

B．(－∞,－2)∪(2,+∞)

C．(－1,1)

D．(－2,0)∪(0,2)参考答案：A2.若函数f(x)＝为奇函数，则a＝

()参考答案：A3.复数（是虚数单位）的虚部为（）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D4.已知集合，集合，则的子集个数为（

）A．1

B．

2

C．3

D．4参考答案：D，所以，其子集个数为，选D.5.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（

）A、9

B、18C、27 D、36参考答案：B略6.参考答案：D

(A项驽nú，B项坯pī抢qiāng，C项应yìng)7.设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(RB)＝（

）A．(1，4)

B．(3，4)

C．(1，3)

D．(1，2)参考答案：B8.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=8，S3=6，则a9=（）A．8B．12C．16D．24参考答案：C【考点】：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由给出的等差数列的第5项和前3项和代入通项公式及前n项和公式求等差数列的首项和公差，然后直接运用通项公式求a9．解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则，解得：a1=0，d=2，所以a9=a1+8d=0+8×2=16．故选C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了计算能力，此题属基础题．9.函数f（x）的图象如图，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排列正确的是（）A．0＜f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1） B． 0＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1） C． 0＜f′（2）＜f′（1）＜f（2）﹣f（1） D． 0＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）＜f′（2）参考答案：B略10.函数f(x)=|tanx|,则函数y＝f（x）＋log4x－1与x轴的交点个数是A、1B、2C、3D、4参考答案：C函数与x轴的交点个数，为方程的解的个数，即方程解的个数，也即函数交点个数，作出两个函数图像可知，它们有3个交点．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量满足约束条件，若的最大值为，则实数

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.参考答案：或（对1个得3分，对2个得5分）试题分析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:12.平面上，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，则有（其中S△PAB、S△PCD分别为△PAB、△PCD的面积）；空间中，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，点E、F为射线PL上的两点，则有=

（其中VP﹣ABE、VP﹣CDF分别为四面体P﹣ABE、P﹣CDF的体积）．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设PM与平面PDF所成的角为α，则两棱锥的高的比为，底面积比为，根据棱锥的体积公式即可得出体积比．【解答】解：设PM与平面PDF所成的角为α，则A到平面PDF的距离h1=PAsinα，C到平面PDF的距离h2=PCsinα，∴VP﹣ABE=VA﹣PBE==，VP﹣CDF=VC﹣PDF==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查了棱锥的结构特征和体积计算，属于中档题．13.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.

参考答案：14.在等比数列{an}中，a1=3，2a1+a2=12，则a4=．参考答案：24【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1=3，2a1+a2=12，∴2×3+3q=12，解得q=2．则a4=3×23=24．故答案为：24．15.设函数，则函数的定义域为

．

参考答案：答案：16.已知圆0的半径为3，从圆0外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为＿＿＿参考答案：由已知得，，解得．17.已知点落在角的终边上，且的值为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，f（x）=ex（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤ea﹣x，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=ea﹣x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；（3）由f（x）的导数f′（x）=ex（x+2）（x+a），当a≠﹣2时，函数y=f′（x）的图象与x轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=ex（x2+x+1），则f′（x）=ex（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1．∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）；（2）f（x）≤ea，即ex（x2+ax+a）≤ea，可变为x2+ax+a≤ea﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=ea﹣x，当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤ea﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤，故0＜a≤；当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤ea﹣x有解，只须r（﹣）≤t（﹣），即﹣+a≤e，当a≤0时，﹣+a≤e显然成立．综上知，a≤即为符合条件的实数a的取值范围；（3）a的取值范围是{a|a≠2，a∈R}．19.某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为,且通过各次测试的事件相互独立．(1)若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望(用p1、p2、p3表示)；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．

参考答案：(2)依题意，ξ的所有可能取值为1、2、3.P(ξ＝1)＝p1，P(ξ＝2)＝(1－p1)p2，P(ξ＝3)＝(1－p1)(1－p2)p3.故ξ的分布列为ξ123Pp1(1－p1)p2(1－p1)(1－p2)p3(8分)Eξ＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)p3(10分)分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B的顺序参加测试时，Eξ的值，得甲选手按C→B→A的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A的顺序参加测试更有利于进入正赛．(12分)【答案】略20.函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出及图中的值．（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案：见解析（Ⅰ）∵图象过点，∴，又，∴，由，得或，，又的周期为，结合图象知，∴．（Ⅱ）由题意可得，∴，∵，∴，∴当，即时，取得最大值，当，即时，取得最小值．21.（本题满分13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的道题中随机抽出道题进行测试，在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的道题．答对一题加分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．参考答案：【解】设乙的得分为，的可能值有

.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．．．．5分乙得分的分布列为：

．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

所以乙得分的数学期望为

．．．．．．．．．．．．．．