河北省保定市下河中学高三数学理期末试卷含解析

河北省保定市下河中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为A.

等边三角形

B.

直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰直角三角形参考答案：A2.把复数z的共轭复数记作，若（1+i）z=1﹣i，i为虚数单位，则=（）A．i B．﹣i C．1﹣i D．1+i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则先求出z，由此能出复数z的共轭复数．【解答】解：∵复数z的共轭复数记作，（1+i）z=1﹣i，i为虚数单位，∴z====﹣i，∴=i．故选：A．3.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．（1，2）参考答案：A4.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点为在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．（0，） B．（1，） C．（，1） D．（，+∞）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A，B的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围．【解答】解：渐近线y=±x准线x=±，求得A（）．B（），左焦点为在以AB为直径的圆内，得出，，b＜a，c2＜2a2∴，故选B．【点评】本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查圆内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1．5.如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据

(

)A．K2>3.841

B．K2<3.841C．K2>6.635

D．K2<6.635参考答案：A6.已知，且，则的值为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C7.设是正实数，函数f（x）=2cos在x∈上是减函数，那么的值可以是 A． B．2 C．3 D．4参考答案：A因为函数在上递增，所以要使函数f（x）=2cos在区间上单调递减，则有，即，所以，解得，所以的值可以是，选A.8.复数的实部是（

）A．

B．

C．3

D．参考答案：答案：B解析：将原式，所以复数的实部为2。9.“”是“直线垂直”的

A.充分不必要条件

B必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A若直线垂直，则有，即，所以。所以“”是“直线垂直”的充分不必要条件，选A.10.已知集合P＝{},Q={},则A、R

B、(-2,+)

C、

D、参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线与圆相切，且在两坐标轴上截距相等，则满足条件的直线共有________条.参考答案：4①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为，也有两条与已知圆相切.易知①、②中四条切线互不相同.12.若点M是以椭圆+=1的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M作该圆的切线交椭圆E于P，Q两点，椭圆E的右焦点为F2，则△PF2Q的周长是．参考答案：6【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一、设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），联立椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），运用韦达定理和弦长公式，结合直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，可得周长；方法二、设P（x1，y1），Q（x2，y2），运用椭圆的焦半径公式和勾股定理，化简整理即可得到所求周长．【解答】解：根据题意作出图形如图所示，方法一、设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，有△=（18km）2﹣4（8+9k2）（9m2﹣72）=288（9k2﹣m2+8）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴===．∵直线PQ与圆x2+y2=8相切，∴，即，∴，∵==，0＜x1＜3，∴，同理，∴|PF2|+|QF2|+|PQ|=6﹣﹣=，因此，△PF2Q的周长是定值6．方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则+=1，|PF2|===，0＜x1＜3，∴，又M是圆O的切点，连接OP，OM，∴==，∴，同理|QF2|+|QM|=3，∴|PF2|+|QF2|+|PQ|=3+3=6，因此，△PF2Q的周长是定值6．故答案为：6．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．13.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角C－AB－D的正切值为

．参考答案：14.设函数在上有定义，对于任意给定正数，定义函数，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，，则

.参考答案：15.函数的定义域为

参考答案：16.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中米，米.为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上.则矩形面积的最大值为____

平方米.参考答案：17.如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，，若，，则

.参考答案：3

【知识点】与圆有关的比例线段．N1解析：连结OE，∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC，又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割线定理，得AE2=AD?AB，即36=，解得AB=，因此，半圆的直径BD=，AO=BD=．可得，所以AC==9，EC=AC﹣AE=3．故答案为：3【思路点拨】连结OE，由切线的性质定理得到OE⊥AC，从而可得OE∥BC．根据切割线定理得AE2=AD?AB，解出AB=，可得AO=，最后利用比例线段加以计算得到AC长，从而可得EC的长．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）（如图1）在平面四边形中，为中点，，，且，现沿折起使，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）在线段PC上是否存在一点M，使直线与直线所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.参考答案：以D为坐标原点，DA,DC,DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为，

19.李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：单价x（千元）345678销量y（百件）7065625956t

已知.（1）若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个子，求“好数据”个数的分布列和数学期望.（参考公式：线性回归方程中的估计值分别为.参考答案：(1)(2)见解析【分析】(1)根据所给数据，先计算出，计算，，，代入公式求，再由求即可(2)利用回归方程计算销量的预测值，找到4个“好数据”：、、、，于是可写出的所有可能取值为，计算即可.【详解】（1）由，可求得，故，，，，代入可得，，所以所求的线性回归方程为．（2）利用（1）中所求的线性回归方程可得，当时，=70；当时，=66；当时，=62；当时，=58；当时，=54；当时，=50．与销售数据对比可知满足的共有4个“好数据”：、、、于是的所有可能取值为，，，∴的分布列为：123P

所以．20.（本小题满分13分）已知点P（一1，）是椭圆E：上一点F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足：求直线AB的斜率。

参考答案：略21.设函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：见解析考点：绝对值不等式试题解析：（1）不等式等价于

或或

解得：或或

∴

∴不等式的解集为

．

（2）∵

∴，

若，恒成立，

则只需，

综上所述．22.已知函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）函数f(x)在区间(0,+∞)存在极值，求实数a的取值范围；（3）若，当对于任意恒成立时，m的最大值为1，求实数a的取值范围.参考答案：（1）当时，在R上单调递增；当时，在单调递减，单调递增.（2）（3）【分析】（1），对a分类讨论，即得解；（2）由（1）单调性的分析