山西省晋中市延安中学高三数学理上学期摸底试题含解析

山西省晋中市延安中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的部分图象如图所示，则点的坐标为A. B. C. D.参考答案：B略2.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(

)A.3

B.2

C.1

D.参考答案：A略3.定义一种运算，若函数，是方程的解，且，则的值（

）A．恒为正值

B．等于

C．恒为负值

D．不大于参考答案：A4.已知a>0且a≠1，若函数f(x)=loga(ax2–x)在[3，4]是增函数，则a的取值范围是A．（1，+∞）

B． C．

D．参考答案：A5.对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：上述数据的统计分析中，一部分计算见如下图所示的程序框图（其中是这8个数据的平均数），则输出的的值是

（

）A．43

B．56

C．7

D．8参考答案：C6.已知全集，集合，则（

）． A． B． C． D．参考答案：B解：∵全集，集合，∴．故选．7.若，则a，b，c的大小关系是（

）

A、

B、

C、D、参考答案：A略8.设变量满足约束条件的取值范围为参考答案：B9.复数的实部与虚部的和为1，则实数a的值为（）

（A）1

（B）2

（C）l

（D）2参考答案：A10.（5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．＜C．＞D．a2＞ab＞b2参考答案：D【考点】：不等式比较大小；不等关系与不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论．解：选项A，∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，=，∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴＞0，即，故选项B不成立；选项C，∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则，，∴此时，故选项C不成立；选项D，∵a＜b＜0，∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab．∴ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，∴ab＞b2．故选项D正确，故选D．【点评】：本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.为了了解企业职工对所谓“台湾公投”的态度，某记者分别从某大型企业5060岁，3040岁，1825岁，三个年龄段的800人，1200人，1000人中，采取分层抽样的方法进行调研，在5060岁这一年龄段中抽查了40人，那么这次调研一共抽查了____人。参考答案：150略12.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为

．参考答案：7713.曲线和曲线围成的图形面积是

．参考答案：略14.设，当0时，恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：略15.若数列满足，，则该数列的前项的乘积

.参考答案：216.某单位名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取名职工作为样本.用系统抽样的方法将全体职工随机按～编号，并按编号顺序分为组（～号，～号，，，，，～号），若第组抽出的号码为，则第组抽出的号码应是

，若改用分层抽样的方法，则岁以下年龄段应抽取

人.参考答案：略17.函数的定义域是_________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知点到直线：的距离之和为4，求的最小值参考答案：解析：设与的夹角为，P到的射影为A，P到的射影为B，，则，

…………2分(1)当P位于平面区域I：时，，，。

…………8分(2)当P位于平面区域II：时，，，。

…………11分的最小值是。

………12分19.如图，在四棱锥中,为上一点，平面，,,，为上一点，且．(Ⅰ)求证:；（Ⅱ）若，求二面角的大小．参考答案：(Ⅰ)证明：连接AC交BE于点M，连接.由，， ……4分 ……6分(Ⅱ)连,在平面内过作于.由于,故.过作于,连.则,即为二面角的平面角. ……10分,,,即二面角的大小为. ……14分

略20.（本小题满分12分）如图，在直二面角中，四边形是矩形，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，．（1）证明：面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．参考答案：（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，，，．∵，，∴，，，．∵，∴．∵，∴．∵，，，∴平面．（2）∵，，记与夹角为，则

．【方法2】（1）,，

．∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面．∵平面，∴．∵，∴平面．（2）过作，分别交于，的补角为与所成的角．连接，．，，，，，，．∴异面直线与所成的角的余弦值为．21.已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1?x2＞e2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，利用导数来判断f（x）的图形单调性；（Ⅱ）（i）函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点转化为：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根．（ii）x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2；不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．原不等式等价于．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xlnx﹣x．函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx；当x＞1时，f'（x）＞0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0．所以，f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx﹣ax所以方程f'（x）=0在x＞0上有两个不同根，即：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根，转化为：函数y=lnx与函数y=ax的图象在x＞0上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），所以k=，又k=，所以，解得：x0=e，于是k=，所以，0＜a＜．（ⅱ）由（i）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．原不等式等价于令，则t＞1，设，，∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式成立，故所证不等式成立．【点评】本题主要考查了导数研究函数的单调性，方程与函数思想，转化思想，属中等题．22.已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．参考答案：解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣ab，∵=，化为ab=4．联立，解得a=2，b=2．（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，2sinBcosA=4sinAcosA，当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立，解得，b=，∴b2=a2+c2，∴，又，∴．综上可得：A=或．考点：余弦定理；正弦定理．

专题：解三角形．分析：（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角形面积计算公式=，即ab=4．联立解出即可．（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．解答：解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣ab，∵=，化为ab=4．联立，解得a=2，b=2．（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（