湖南省长沙市浏阳第十五中学高三数学理摸底试卷含解析

湖南省长沙市浏阳第十五中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某计算器有两个数据输入口M1，M2一个数据输出口N，当M1，M2分别输入正整数1时，输出口N输出2，当M1输入正整数m1，M2输入正整数m2时，N的输出是n；当M1输入正整数m1，M2输入正整数m2+1时，N的输出是n+5；当M1输入正整数m1+1，MM2输入正整数m2时，N的输出是n+4．则当M1输入60，M2输入50时，N的输出是（）A．494 B．492 C．485 D．483参考答案：D【考点】进行简单的合情推理．【分析】依题记f（m1，m2）=f（m1，m2﹣1）+5×1=f（m1，1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1，1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1，1）+4×（m1﹣1）+5×f（m1，1），将m1=60，m2=50，f（1，1）=2，代入得结论．【解答】解：依题记f（m1，m2）=f（m1，m2﹣1）+5×1=f（m1，1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1，1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1，1）+4×（m1﹣1）+5×（m2﹣1），将m1=60，m2=50，f（1，1）=2，代入得483．故选D．2.把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.设集合M={}，N={}，则MN=

A．{}

B．{}

C．{}

D．{}参考答案：A4.设若，则的值为（

）A．B．C．D．参考答案：A

【知识点】定积分；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．B13B8由题意可知，又，所以，故，解得，故选A．【思路点拨】求出的值，然后利用，通过积分求解的值．5.已知，的取值如右表：从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为,则a=(

)A

B

C

D参考答案：A6.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于,灯塔A在观察站C的北偏东,灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A与灯塔B的距离为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.角α的终边经过的一点P的坐标是（﹣，a），则“|a|=1”的充要条件是（）A．sinα= B． cosα=C．tanα=D．|PO|=+1参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】cosα=，可得“|a|=1”的充要条件．【解答】解：cosα=，“|a|=1”的充要条件是cosα=﹣．故选：B．8.设复数满足，则（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：D9.下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“?x≥0，x2＋x－1＜0”的否定是“?x0＜0，x＋x0－1＜0”C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为假命题D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题参考答案：D10.（05年全国卷Ⅲ）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（

）A

B

C

D

参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则三棱锥外接球O的表面积等于________.参考答案：12.如图，我们知道，圆环也可看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S=π（R2﹣r2）=（R﹣r）×2π×．所以，圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是

．（结果用d，r表示）参考答案：2π2r2d考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；归纳推理．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x﹣d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．代入可得答案．解答： 解：由已知中圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x﹣d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．故V=πr2?2πd=2π2r2d，故答案为：2π2r2d．点评：本题考查的知识点是圆柱的体积，类比推理，其中得到拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x﹣d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．是解答的关键．13.有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为．参考答案：略14.已知函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是

.

参考答案：15.已知虚数满足，则

▲

．

参考答案：16.（几何证明选讲选做题）如图3，是圆的一条弦，延长至点，使得，过作圆的切线，为切点，的平分线交于点，则的长为

．参考答案：试题分析：由切割线定理得：，所以，因为是的平分线，所以，因为是圆的切线，所以，因为，所以，所以．考点：1、切割线定理；2、弦切角定理．17.设函数

则______；若，，则的大小关系是______．参考答案：，【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】

，因为，所以

又若，结合图像知：

所以：。

故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多.某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：

年份（x）20122013201420152016家庭数（y）610162226

（Ⅰ）从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率；（Ⅱ）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数.参考公式：，参考答案：（Ⅰ）从这5年中任意抽取两年，所有的事件有：，，，，，，，，，共10种，至少有1年多于20人的事件有：，，，，，，共7种，则至少有1年多于20人的概率为.（Ⅱ）由已知数据得，，；；所以，所以是正相关，回归直线的方程为则第2019年的估计值为19.如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，CD=1，△ADE是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E﹣ABCD（如图2），且DE⊥AB．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AD，AB⊥DE，从而AB⊥平面ADE，由此能平面ADE⊥平面ABCD．（Ⅱ）设AD的中点为O，连接EO，推导出EO⊥AD，从而EO⊥平面ABCD．以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于AD的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小．（Ⅲ）设BE的中点为G，连接CG，FG，推导出四边形CDFG是平行四边形，从而DF∥CG．由此能求出在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得AB⊥AD，AB⊥DE．因为AD∩DE=D，所以AB⊥平面ADE．又AB?平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD..…解：（Ⅱ）设AD的中点为O，连接EO．因为△ADE是正三角形，所以EA=ED，所以EO⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，EO?平面ADE，所以EO⊥平面ABCD．以O为原点，OA所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于AD的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．由已知，得E（0，0，），B（1，2，0），C（﹣1，1，0）．所以=（1，﹣1，），=（2，1，0）．设平面BCE的法向量=（x，y，z）．则，令x=1，则=（1，﹣2，﹣）．又平面ADE的一个法向量=（0，1，0），所以cos＜＞==﹣．所以平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小为．…（Ⅲ）在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE，此时．理由如下：设BE的中点为G，连接CG，FG，则FG∥AB，FG=．因为AB∥CD，且，所以FG∥CD，且FG=CD，所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG．因为CG?平面BCE，且DF?平面BCE，所以DF∥平面BCE..…20.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用万元2345销售额万元26394958经计算.附：.（I）根据上表中的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;（II）根据上述回归方程,预测广告费用为10万元时,销售额为多少万元？参考答案：（1），，，所以线性回归方程为。

................8(分)（2）预测广告费用为10万元时，（万元）所以预测广告费用为10万元时,销售额为111.9万元.

................12(分)21.（12分）已知函数的反函数为，各项均为正数的两个数列满足：，其中为数列的前项和，。（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，且，试比较与的大小。参考答案：解：（1）由，得