连续系统模型的离散化处理方法

连续系统模型的离散化处理方法

如果要求进行实时仿真，或要求计算工作速度快时，能在一个采用周期内完成全部计算任务，这就需要一些快速计算方法。数值积分法：将微分方程转换成差分方程，这中间是一步步离散，每一步离散都用到连续系统的原模型，这样的速度就慢了。第2页,共39页，2024年2月25日，星期天

本章方法：先对连续模型进行离散化处理，得到一个“等效”的离散化模型，以后每一步计算都在这个离散化模型基础上进行，原来的模型不再参与计算这种方法，得到了简化的模型，便于在计算机上求解，且使计算速度加快第3页,共39页，2024年2月25日，星期天4.1替换法基本思想：设法找到S域到Z域的某种映射关系，将G（S）转换成G（Z），再进行Z的反变换，求得差分方程，据此便可以快速求解S域到Z域的最基本映射关系是：Z=eTS（T—采样周期）如果直接代入G（S）求G（Z）很麻烦，则将Z=eTS作简化处理第4页,共39页，2024年2月25日，星期天一、派德近似公式（PADE）第5页,共39页，2024年2月25日，星期天二、简单替换法当m=0，n=1，x=TS时，e-（-TS）=1+TS即Z=1+TS这是一种简单替换方法，又称欧拉映射法。举例第6页,共39页，2024年2月25日，星期天三、双线性替换法1替换关系：第7页,共39页，2024年2月25日，星期天

2高阶系统双线性替换计算机程序的自动实现3双线性替换性能评价：稳定性精度保持模型的阶次不变频率特性近似G（S）的稳定增益不变具有串联性高阶系统能程序实现第8页,共39页，2024年2月25日，星期天4.3离散相似法系统仿真离散相似法:将连续系统的G(S)模型进行离散,得到各环节的离散化模型,再对等价的离散化模型进行仿真计算特点:按环节进行离散,每计算一个步长,每个环节都独立按输入计算输出,非线性环节也易包含进去的-

可对含非线性环节的连续系统进行仿真.第9页,共39页，2024年2月25日，星期天一、基本思路设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似设一个连续系统，u（t）-输入，y（t）-输出在I/O端人为地加上两个采样开关，信号重构器（滤波器）--虚拟重构器所能保持和延续的规律是不可能与原来的输入信号u（t）完全一致的第10页,共39页，2024年2月25日，星期天

Y（t）的近似能否精确复现y（t）取决于u（t）的近似能否精确地复现u（t）仿真精度主要取决于采样周期Ts的大小、信号重构器的特性两种形式：传递函数的离散化相似处理—离散传递函数；连续状态方程的离散相似处理—离散化状态方程第11页,共39页，2024年2月25日，星期天二、Z域离散相似方法1基本方法第12页,共39页，2024年2月25日，星期天Z反变换得差分模型第13页,共39页，2024年2月25日，星期天主要步骤A画出连续系统结构图B加入虚拟采样开关，选择合适的信号重构器CG（S）与Gh（S）串联，z变换—G（Z）DZ反变换—差分方程E根据差分方程编制仿真程序第14页,共39页，2024年2月25日，星期天2典型环节离散相似模型A积分环节B一阶环节C二阶环节第15页,共39页，2024年2月25日，星期天三、时域离散相似法原理1状态方程的离散相似法描述

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第17页,共39页，2024年2月25日，星期天A当输入函数u（KT）在两采样点间保持不变时第18页,共39页，2024年2月25日，星期天B当输入函数u（KT）在两采样点间线性变化时（一阶保持）第19页,共39页，2024年2月25日，星期天

当连续系统状态方程系数A、B已知时，可求出……此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样就减少了以后的计算工作量。第20页,共39页，2024年2月25日，星期天2典型环节的离散状态方程A积分环节：G（S）=K/S其状态方程：X’=Ku

输出方程：y=x

其中：A=0，B=K第21页,共39页，2024年2月25日，星期天积分环节的离散状态方程和---B比例积分环节第22页,共39页，2024年2月25日，星期天离散模型C惯性环节第23页,共39页，2024年2月25日，星期天D超前-滞后环节第24页,共39页，2024年2月25日，星期天四、采用离散化模型的系统仿真把各个环节有机地连接起来。1连接矩阵（面向结构图）

12354a6---第25页,共39页，2024年2月25日，星期天

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连接方程U=wyKU—输入向量YK—输出向量W—连接矩阵第28页,共39页，2024年2月25日，星期天2仿真计算过程基本计算单元：各环节的离散化模型K个环节，K个离散状态方程，K个输出方程A根据状态向量初值X（0）以及输出向量初值Y（0），算出所有环节的输入B由X（0）、U（0）、U’(0)按离散状态方程,算出所有的状态量由状态量、输入量，按输出方程算出所有的输出，到此，完成一步；在此基础上，进行下一步，一直进行，直到仿真完成。第29页,共39页，2024年2月25日，星期天3仿真程序框图基本思路：各环节进行分类编号计算各环节离散状态方程系数矩阵依据各环节的连接关系及外部作用函数计算各环节的输入函数u、u’依据各环节的两个方程计算各环节当前一步的状态量Xn+1和输出量Yn+1。第30页,共39页，2024年2月25日，星期天

初始化程序识别环节类型计算系数计算每个环节的输入计算各环节状态量计算各环节输出量打印间隔到否打印Yn+1计算次数到否结束NN第31页,共39页，2024年2月25日，星期天五、离散相似模型的精度与稳定性离散相似模型只能等效于原来的连续系统其精度受采样周期和信号重构器性能的影响信号重构器存在一定程度的幅值减小和相位滞后在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。第32页,共39页，2024年2月25日，星期天1采样周期对精度的影响香农定理：当一个具有有限频道的连续信号f（t）进行采样时，如果采样频率大于等于两倍的f（t）的有效频谱的最高角频率，采样函数便能无失真地复现原来的连续信号某一环节的输入信号频带取决于前面环节的系统响应第33页,共39页，2024年2月25日，星期天

选择Ts时，满足采样定理，适当考虑系统的动态响应，以防降低精度按系统响应时间确定采样周期，可取Ts=0.1TminTmin—系统中反应最快的那个闭环子系统的最小时间常数第34页,共39页，2024年2月25日，星期天2信号重构器对仿真模型精度的影响加入一个理想滤波器,保留输入信号主频段,滤掉附加的频谱分量,不失真理想滤波器不存在,一般用零阶、一阶、三角保持器来近似3离散相似模型的稳定性稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器选择不当，离散模型的稳定性变差不稳定的离散模型是不能用来仿真连续系统的第35页,共39页，2024年2月25日，星期天

六、利用数字补偿器提高离散相似模型的精度和稳定性信号重构器串联一个补偿器，来弥补幅值减小、相位滞后作业：4.24.5第36页,共39页，2024年2月25日，星期天

4.6.1X1=1-exp(-t)X2=exp(-t)-1T=0.01X1(n+1)=x1(n)+0.01*x2(n)+0.01+0.00005*(-x1(n)-2*x2(n)-1)X2(n+1)=0.9802*x2(n)-0.0099*(x1(n)+1)-0.0000497*(x2(n)+1)第37页,共39页，2024年2月25日，星期天

4.6.2X(t)=1-0.0506exp(-8.925t)-0.9494exp(-0.5375t)cos1.856t-0.5183exp(-0.5375t)sin1.856tf1=x2;f2=x3;f3=-33.33x1-13.33x2-10x3+33.33X=x1T=0.01X1(n+1)=x1(n)+0.01x2(n)+0.00005x3(n)X2(n+1)=0.9993x2(n)+0.0095x3(n)-0.00167x1(n)+0.00167X3(n+1)=0.90416x3(n)-0.1285x2(n)-0.3171x1(n)+0.3171第38页,共39页，2024年2月25日，星期天

4.8双线性和RK4S=2(z-1)/T/(z+1)W(n+1)=w(