第5章-点的运动学

哈尔滨工业大学理论力学教研室编著武汉轻工大学机械工程学院第七版高等教育出版社发行运动学运动学引言任务：研究物体运动的几何性质(包括运动规律、轨迹、速度、加速度)。只从几何的角度来研究物体的机械运动，不考虑影响物体运动的物理原因。

意义：为动力学打下必要基础及直接用于工程实际。

物体运动的描述是相对的：研究一个物体的运动，必须选取另一个物体作为参考，这个参考的物体称为参考体。固结于参考体上的坐标系称为参考系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。

力学模型：点和刚体。

内容：①建立机械运动的描述方法；②建立各运动量之间的关系。第5章点的运动学§5-1

矢量法§5-2

直角坐标法§5-3

自然法引言本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢量法、直角坐标法和自然法。点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。

§5-1矢量法5.1.1

点的运动方程—矢量形式选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即：(5-1)式(5-1)称为以矢量表示的点的运动方程。

§5-1矢量法5.1.2

点的运动轨迹—矢径端图动点M在运动过程中，其矢径r的末端描绘出一条连续曲线，称为(矢径的)矢端曲线(矢径端图)。矢径r的矢端曲线就是动点M的运动轨迹。MrO

§5-1矢量法5.1.3

点的速度矢动点的速度矢等于它的矢径

r

对时间的一阶导数。动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。OMr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr速度的大小(即速度矢的模)，表明点运动的快慢。(5-2)

§5-1矢量法5.1.3

点的速度矢速度矢端曲线(速度端图)在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v1，v2，v3，…等都平行地移到点O，连接各矢量的端点P1，P2，P3，…，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线(速度端图)。OP1P2P3v1v2v3速度端图M1v1v2v3M2M3矢径端图

§5-1矢量法5.1.4

点的加速度矢(5-3)OPv(t)v(t+Δt)P'aa*Δv

点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，也等于矢径对时间的二阶导数。它表征了速度大小和方向的变化。

动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点的切线相平行。

有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。所以式(5-2)和(5-3)可以写为：

§5-2直角坐标法5.2.1

点的运动方程—直角坐标形式如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r可表示为：(5-4)这组方程称为以直角坐标表示的点的运动方程。运动方程式(5-1)可写为：MrOkjyyxxzzi(5-5)式(5-5)也是点的轨迹的参数方程。如需要求点的轨迹方程，可将式中的时间t消去。

§5-2直角坐标法5.2.2

点的速度

速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。若已知速度的投影，则速度的大小为：其方向余弦为：

§5-2直角坐标法5.2.3

点的加速度

加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。若已知加速度的投影，则加速度的大小为：其方向余弦为：

§5-3自然法5.3.1

弧坐标设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。MOs(–)(+)当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即：

(5-13)式(5-13)称为点沿轨迹的运动方程，或以弧坐标表示的点的运动方程。

§5-3自然法5.3.2

自然轴系在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和M1，这两点切线的单位矢量分别为t和t1，其指向与弧坐标正向一致。将t1平移到点M，则t和t'1决定一平面。令M无限趋近点M1，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面。

过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指向与t

、n构成右手系。t1t'1tM1Mnb

§5-3自然法5.3.2

自然轴系以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。且三个单位矢量满足右手法则，即：

§5-3自然法5.3.2

自然轴系曲率和曲率半径曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径。MM'△s△jtt'(5-14)

§5-3自然法5.3.2

自然轴系两个相关的计算结果时，有：与垂直，且。

，，①(–)(+)(–)(+)5.3.2

自然轴系为正时，点沿弧坐标正方向运动，指向轨迹内凹一侧；

§5-3自然法为负时，点沿弧坐标负方向运动，指向轨迹外凸一侧；②所以：与同向。(–)(+)

§5-3自然法5.3.3

点的速度用矢量表示为：

在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。rr'MM'tv△r△sO式中：

的绝对值表示速度的大小，它的正负号表示点沿轨迹运动的方向。

§5-3自然法5.3.4

点的切向加速度和法向加速度上式表明点的加速度矢是由两个分矢量组成：分矢量

的方向始终沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量的方向始终沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。(5-18)

§5-3自然法5.3.4

点的切向加速度和法向加速度①—切向加速度，反映速度大小的变化。②—法向加速度，反映速度方向的变化。切向加速度反映点的速度值随时间的变化率，它的代数值等于速度代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对方向对时间的二阶导数，它的方向沿轨迹的切线。法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度，它的大小等于点的速度平方除以曲率半径，它的方向沿着主法线的方向，指向曲率中心。

§5-3自然法5.3.4

点的全加速度(5-23)式中：由于、均在密切面内，所以全加速度也在密切面内。即：(5-25)(5-24)全加速度的大小可由下式求出：(5-26)全加速度与法向间夹角的正切为：(5-27)当与的夹角为锐角时，为正，否则为负。点的全加速度：

§5-3自然法5.3.4

点的全加速度(5-23)式中：由于、均在密切面内，所以全加速度也在密切面内。这表明加速度沿副法线上的分量为零，即：(5-25)(5-24)点的全加速度为

和

的矢量和：

§5-3自然法5.3.4

点的全加速度全加速度的大小可由下式求出：(5-26)全加速度与法向间夹角的正切为：(5-27)当与的夹角为锐角时，为正，否则为负。aτaτθθττvvananaa

§5-3自然法5.3.4

点的全加速度(5-30)了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保持不变，与直线匀速运动相比，即得：如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规律。积分得：再积分得：由：(5-28)(5-29)习题课1、三种方法的特点矢量法用一个式子同时表示运动参数的大小和方向，运算表达简练，因而常用于证明和推导公式。自然法中各运动参数的物理意义明确，运算也比较简便，在已知点的运动轨迹时，常选用这种方法。直角坐标法是较为常规的方法，用于点的轨迹未知的情况。习题课2、习题分类已知点的运动参数求点的运动方程、轨迹、速度、加速度。此类问题涉及求导运算。已知点的速度或加速度，求点的运动方程、轨迹和速度。此类问题一般通过积分运算求解，积分常数由运动的初始条件确定。综合性问题。如已知点的直角坐标形式的运动方程，求轨迹的曲率半径等。对于涉及积分运算的问题，应根据题中给出的初始条件确定积分常数；对于涉及求导运算的问题，一般较易处理，其难点是运动方程的建立

。习题课3、解题步骤根据题意及动点的运动特点确定相应的研究方法。若点的运动轨迹简单并易于写出动点沿轨迹的运动方程(弧坐标形式的运动方程)时，宜用自然法，否则采用直角坐标法。将动点放在一般位置上(注意：绝不能放在特定位置上，如运动的起点、终点等)，根据给定的运动条件和几何关系，把该点的坐标表示为与时间有关的某一参数(如转角、到某一定点的距离等)的函数，整理后即可得到动点的运动方程。

[5-1]椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺的A、B两端分别在相互垂直的滑槽中运动。求：①M

点的运动方程；②轨迹；③速度；④加速度。已知：OC=AC=BC=l，MC=a，

。例题习题课点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。①运动方程：消去t，得轨迹：解

:习题课②轨迹：③速度：习题课解

:④加速度：习题课解

:

[5-2]正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角为，其中为t

=

0时的夹角，为一常数。已知动杆上A、B两点间距离为b。求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。例题习题课A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。解

:①运动方程：②

B点的速度和加速度习题课直线谐振动：点作直线往复运动，并且运动方程为时间的正弦或余弦函数。运动图线习题课频率：周期的倒数，。关于直线谐振动振动中心：往复运动的中心。振幅：往复运动的最远距离。周期：动点往复运动一次所需的时间，。位相：用来确定动点位置的角，其中称为初位相。角(圆)频率：，表示在内振动的次数。例题[5-3]当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度(为活塞的速度，为比例常数)，初速为v0，求活塞的运动规律。习题课由：由：两边积分：得：即：两边积分：得：习题课解