17.1.3-勾股定理在几何中的应用

第十七章

勾股定理17.1勾股定理第3课时

勾股定理在几何

中的应用1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升用勾股定理在数轴上表示实数用勾股定理解几何问题

某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：

如下图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分三个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的准确面积．则池塘不计入土地价钱白白奉送．英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗?1知识点用勾股定理在数轴上表示数

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

的点吗？

如果能画出长为

的线段，就能在数轴上画出表示

的点.容易知道，长为

的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.长为

的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？知1－讲知1－讲

利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2,3的直角三角形的斜边长为

.由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示

的点.

如图,在数轴上找出表示3的点A，则OA=3,过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示

的点.总

结知1－讲

类似地，利用勾股定理，可以作出长为

…的线段(图1).按照同样方法，可以在数轴上画出表示

…的点(图2).

图1图2利用

a＝

可以作出．如图2，先作出与已知线段AB垂直，且与已知线段的端点A相交的直线l，在直线l上以A为端点截取长为2a的线段AC，连接BC，则线段BC即为所求．如图2，BC就是所求作的线段．例1如图1，已知线段AB的长为a，请作出长为

a的

段．(保留作图痕迹，不写作法)知1－讲（来自《点拨》）图1图2导引：解：总

结知1－讲

这类问题要作的线段一般是直角三角形的斜边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的长是解题的关键．（来自《点拨》）1在数轴上做出表示的点.知1－练（来自《教材》）如图所示．作法：(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；(2)过A作直线l垂直于OA；(3)在直线l上取点B，使AB＝1；(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与

数轴的交点C即为表示

的点．解：2(2016·台州)如图，数轴上的点O，A，B分别表示

数0，1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB

的长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC的长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的

数是(

)

A.B.C.D.知1－练（来自《典中点》）B3如图，点C表示的数是(

)A．1B.C．1.5D.知1－练（来自《典中点》）D如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为(

)A．2B.－1C.－1D.知1－练（来自《典中点》）4C如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(

)A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间知1－练（来自《典中点》）5A2知识点用勾股定理解几何问题知2－讲例2如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC

＝10.求BC的长．导引：题中没有直角三角形，可以通

过作高构建直角三角形；过点A作AD⊥BC于D，图中会出现

两个直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，这两

个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边，

可建立起直角三角形之间的联系．知2－讲解：如图，过点A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝

AC＝5.

在Rt△ACD中，AD

在Rt△ABD中，BD∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.（来自《点拨》）总

结知2－讲（来自《点拨》）

利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题．1

如图，等边三角形的边长是6.求：(1)高AD的长；(2)这个三角形的面积.知2－练（来自《教材》）(1)由题意可知，在Rt△ADB中，

AB＝6，BD＝

BC＝3，∠ADB＝90°.

由勾股定理，

得AD＝(2)S△ABC＝

BC·AD＝×6×3

＝解：如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为

的线段________条．知1－练（来自《典中点》）28知2－练（来自《典中点》）3如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中，

长为无理数的边有(

)A．0条

B．1条

C．2条

D．3条C知2－练（来自《典中点》）4如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．10cmB【2017·宜宾】如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是(

)A．3B.C．5D.知1－练（来自《典中点》）5C如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，则△ABC的周长等于________cm.知1－练（来自《典中点》）61．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，

再求这个直角三角形的角度和面积：综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形

平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于

最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形.1知识小结2．应用勾股定理解题的方法：(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构

造直角三角形，应用勾股定理求解；(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线段的

长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建

方程，解答计算问题；(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾

股定理解决实际问题．如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．115.22易错小结在Rt△PFH中，FH＝

＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8