第节行列式的定义和性质

线性代数1第一章行列式

行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则.2第一节行列式的定义用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入3方程组的解为由方程组的四个系数确定.4

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表即5则二元线性方程组的解为注意

分母都为原方程组的系数行列式.6例1解7

我们想当然的会考虑，通过行列式把n元线性方程组的解表示出来.二、n阶行列式的定义8在

阶行列式中，把元素

所在的第

行和第

列划去后，留下来的

阶行列式叫做元素

的余子式，记作叫做元素

的代数余子式．例如定义1

9定义2

则有注：因上式中使用了行列式的第一列元素，故上式也称为D依第一列的展开式.10例1计算下列行列式11解:这是一个n阶行列式,按第一列展开得12定理1.1

行列式等于它的任一列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即注：若行列式中某一列只有一个非零元素，则该行列式等于该元素乘以它的代数余子式．13例2：计算下列行列式提示：按第一列展开即可.14例315下三角行列式重要结论上、下三角形行列式都等于主对角线上元素的乘积。16第二节行列式的性质与计算性质1

行列式与它的转置行列式相等.行列式

称为行列式

的转置行列式.

记一、行列式的性质17性质1的意义何在呀？行列式的行与列地位平等，因而后面对行成立的性质，对列也成立。推论

行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即例：18性质2

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数

乘此行列式.推论

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质2中k＝0的情况?19性质3

互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论1

如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.例如推论2行列式任一行（列）的所有元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.20推论3

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明21注：行列式的重要展开定理定理1.222例1

计算行列式解方法一：按第一行展开，得方法二:按第二行展开,得23例224例325性质4

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如26思考题:若27例428解29性质5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如30例１二、行列式的计算计算行列式常用方法：利用运算

把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．31解32★例2

计算

阶行列式解将第

都加到第一列得当每一行（列）元素之和都相等时，这是经常采用的方法.33上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积，因此计算行列式常利用行列式的性质，把行列式化成上（下）三角行列式。这是计算行列式最基本的方法必须掌握34例3

计算行列式的值,其中解

降阶法35证用数学归纳法★例4证明范德蒙德(Vandermonde)行列式称为n阶范德蒙德行列式P41736n-1阶范德蒙德行列式范德蒙德行列式是一类重要的行列式，结果要记住哦371.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结38计算行列式常用方法:(1)降阶法:利用行列式的性质,将它的某一行(列)元素尽可能多地化为0,然后按该行(列)展开(2)化为上(下)三角形行列式,直接给出结果(3)拆项法