第六章(二) 常用离散型随机变量的理论分布

第二节常用离散变量的理论分布一、二项分布（一）贝努里试验及其概率函数：指只有两种可能结果的随机试验，我们将其中比较关注的结果称为“成功”，另一个结果称为“失败”。将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称n次试验是独立的。对于n次独立的试验如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与之一，在每次试验中出现A的概率是常数p(0<p<1),因而出现对立事件的概率是1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努里试验，简称贝努里试验(Bernoullitrials)。在n重贝努里试验中，事件A可能发生0，1，2，…，n次，来求事件A

恰好发生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。例：抛掷4次硬币，正面朝上（A）出现2次的概率。先取n=4，k=2。在4次试验中，事件A发生2次的方式有以下C42种：其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次试验发生；(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次试验不发生。由于试验是独立的，按概率的乘法法则，于是有

又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按概率的加法法则，事件A恰好发生2次的概率为一般，在n重贝努里试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为

k=0,1,2…,n（二）二项分布的定义及性质1、二项分布的定义：设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,…，n，且有：

k=0,1,2…,n其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布，记为：

B(x;n,p)。二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n称为正整数离散参数；p是连续参数，它能取0与1之间的任何数值(q=1－p)。例

某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.B(x;3,0.8)，把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8

P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.1042、二项分布的性质：容易验证，二项分布具有概率分布的一切性质，即：（1）P(x=k)=Pn(k)(k=0,1,…，n)（2）二项分布的概率之和等于1，即

复习中学数学知识(牛顿二项展开式)：（3）（4）（5）（m1<m2）

3、二项分布的图形特征：二项分布的图形由n和p两个参数决定：（1）当p值较小且n不大时，分布是偏斜的。但随着n增大，分布逐渐趋于对称；（2）当p值趋于0.5时，分布趋于对称；（3）对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少。当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；([x]表示不超过x的最大整数)n=10,p=0.7nPk(n+1)p=7.7那么.n=7为最大当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值。n=13,p=0.5Pkn0(n+1)p=7那么.n=7或n=6最大二项分布图当n=20时，不同p值的曲线。此外，在n较大，np、nq较接近时，二项分布接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极限分布是正态分布。(n≥30,np≥5,nq≥5时，近似正态分布。)（三）二项分布概率计算及应用条件【例】某车间里共有9台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时约有12分钟使用电力。假定车工们使用电力与否是相互独立的，试问：在同一时刻有7台或7台以上的车床使用电力的概率为多少？解：设同一时刻使用电力的车床数为X，则服从二项分布。

[例2]

滨海市保险公司发现索赔要求中有15%是因为被盗而提出的。现在知道1999年中，公司共收到20个索赔要求，试求其中包含7个或7个以上被盗索赔的概率。

解：二项分布的应用条件有三：1.各观察单位只具有互相对立的一种结果，属于二项分类资料；2.已知发生某一结果的概率为p，其对立结果的概率则为1－p=q，要求p是从大量观察中获得的稳定数值；3.n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察单位的结果不会影响到其它观察单位的观察结果。（四）二项分布的平均数与标准差统计学证明，服从二项分布B(n，p)的随机变量之平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系：当试验结果以事件A发生次数k表示时

μ=npσ=证：B(x;n,p),若设则X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n所以E(X)=X表示n重试验中的“成功”次数。E(Xi)==pXi01P1-pp又:Xi的分布律为:二、两点分布（Two-pointdistribution）当n=1，二项分布中“成功次数”只能取值0或1设的分布列为

称服从两点分布或0—1分布或贝努里分布。不难发现两点分布就是二项分布N=1的特殊情形。

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pq三.几何分布(Geometrydistribution)

在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，设试验进行到第次才出现成功。(xi)的分布列为

Pk=1.2…

（k=1.2…）是几何级数的一般项。因此称它为几何分布记为～g(k；p)。四、超几何分布(Supergeometrydistribution)对于抽样调查，只有在大群体（即总体比样本相对大很多）的情况下，二项分布的独立试验要求才能够近似得到满足（重复抽样）。但如果研究对象是小群体，这时总体单位不多，一般只有几十个。假定总体只有两类，其中K个成功类，（N-K）个为失败类，这时如果从总体中抽取一容量为n的样本，那么成功的概率将不再恒定，也就是二相分布所要求的独立试验的条件不再被满足，而超几何分布将适合于这种小群体的研究。形式:P(X=k)=，K=0,1,…,min(n,M)超几何概型,例:产品检验。有N个产品（其中有K个合格品）从N个产品中取n个检验，求n中有X个合格品的概率。（即X——合格品个数）不回置抽样！期望：E（X）=nK/N=np方差：D(X)=npq(N-n)/(N-1)当研究对象是小群体，并且采用不回置抽样时，成功的概率将不再恒定，也就是二项分布所要求的独立试验的条件不再被满足，而超几何分布将适合于这种情况的研究。当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，可用二项分布来近似超几何分布。一般当n/N≤0.1时，这种近似就是可以采用的。五、泊松分布(PoissonDistribution)泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量n必须很大。例：盒子中装有999个黑棋子，一个白棋子，在一次抽样中，抽中白棋子的概率1/1000在100次抽样中，抽中1，2，…10个白棋子的概率分别是……

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件。如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等。在现实生活中，服从泊松分布的随机变量是常见的。如每页文稿的错字数，某地区末予预报的暴风次数，一天中交通事故发生的件数等，都是服从泊松分布的。（一）泊松分布的定义与特征1、定义：若随机变量x(x=k)只取零和正整数值0，1，2，…，且其概率分布为

x=0，1，……(稀有事件出现的次数)其中λ＞0；e是自然对数的底数(e=2.71828)

，则称x服从参数为λ的泊松分布(Poisson‘sdistribution)，记为P(x;λ)。（2）不难验证：（1）这是因为:复习:2、泊松分布重要的特征：平均数和方差相等，都等于常数λ，即

μ=σ2=λ=np

证明：泊松(Poisson)分布的数学期望与方差。3、泊松分布的图形特征：

λ是泊松分布所依赖的唯一参数。λ值愈小分布愈偏倚，随着λ的增大，分布趋于对称。当λ=20时分布接近于正态分布；当λ=50时，可以认为波松分布呈正态分布。在实际工作中，当λ≥20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。泊松分布若用m表示λ时的曲线（二）泊松分布的概率计算泊松分布的概率计算依赖于参数λ，只要参数λ确定了，把k=0,1,2,…代入公式即可求得各项的概率。但是在大多数服从泊松分布的实例中，分布参数λ往往是未知的，只能从所观察的随机样本中计算出相应的样本平均数作为λ的估计值，将其代替公式中的λ，计算出k=0,1,2,…时的各项概率。例:一个合订本共100页,假定每页上印刷错误的数目X服从泊松分布(λ=1),计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率。解:由题目P(x;1).P(X≤4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).查表求值=?+?+?+?+?所求概率为(?)100=0.0045。【例】为监测饮用水的污染情况，现检验某社区每毫升饮用水中细菌数，共得400个记录如下：试分析饮用水中细菌数的分布是否服从泊松分布。若服从，按泊松分布计算：细菌数/ml(水)的概率及理论次数,并将頻率分布与泊松分布直观比较。经计算得每毫升水中平均细菌数=0.500，方差S2=0.496。两者很接近，故可认为细菌数/ml(水)服从泊松分布。以=0.500代替公式中的λ，得

(k=0,1,2…)计算结果如下表。细菌数的泊松分布可见细菌数的频率分布与λ=0.5的波松分布是相当吻合的，进一步说明用波松分布描述单位容积(或面积)中细菌数的分布是适宜的。注意：泊松分布的应用条件与二项分布相似。历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布。（三）泊松分布与二项分布n100,np10时近似效果就很好。由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。例见：P133，例8.2.3实际计算中，n≥10,p≤0.1,近似效果就较好,而当

n很大时，p

很小。有以下近似式：其中泊松定理:设随机变量B(x;n,p)。（四）Piosson分布与正态分布的关系当较小时，Piosson分布呈偏态分布，随着增大，迅速接