四川省成都市成华区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷

2020-2021学年四川省成都市成华区八年级（下）期末数学试卷一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）.1．当x＝1时，下列分式没有意义的是（）A． B． C． D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．a2＜b2 C． D．﹣2a＞﹣2b4．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．5．下列运算正确的是（）A． B． C． D．6．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2） C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）7．已知x＝2是分式方程+＝1的解，那么实数k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC9．如图，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，） D．（﹣2，3）10．如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（）A． B． C． D．无法判定二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）若a+b＝4，ab＝1，则a2b+ab2＝．12．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是．13．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2﹣m的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为．14．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若OA＝2，△AOE的周长等于7，则▱ABCD的周长等于．三、解答题（本大题共6个小题，满分54分）15．（8分）（1）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2；（2）化简：．16．（12分）（1）解不等式组；（2）解方程：．17．（8分）先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．18．（6分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）请按下列步骤作图：①作点A关于点O的对称点A1；②连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得线段A1B1；（2）请直接写出（1）中四边形ABA1B1的面积．19．（10分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出了两种打折优惠方案，方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为y1元，按照方案二所需费用为y2元，函数图象分别如图所示．（1）求y1与x的函数关系式；（2）求打折前的每次健身费用，并写出y2与x的函数关系式；（3）小明同学计划暑期前往该俱乐部健身，应怎样选择方案？20．（10分）已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE．（1）【模型研究】如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）【模型推广】如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）【模型应用】若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长．一、填空题（每小题4分，共20分）21．（4分）若分式的值为0，则x＝．22．（4分）若a﹣＝，则a2+值为．23．（4分）关于x的不等式组的整数解只有4个，则m的取值范围是．24．（4分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为．25．（4分）将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2．将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC+GC的最小值为．二.解答题（本大题有3个小题，共30分）26．（8分）在精准扶贫活动中，青春党支部给帮扶的某贫困家庭赠送了甲、乙两种果树树苗让其栽种．已知乙种树苗的单价比甲种树苗的单价贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元？（2）青春党支部决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵赠送给另一贫困家庭，此时，甲种树苗的单价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的单价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么最多可购买多少棵乙种树苗？27．（10分）如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，连接NM，NP．（1）图1中，线段NM，NP的数量关系是，∠MNP的度数为；（2）把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP．求证：△MNP是等边三角形；（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝2，AB＝5，请直接写出△MNP面积的最大值．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．（1）求直线BC的解析式；（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

2020-2021学年四川省成都市成华区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）.1．当x＝1时，下列分式没有意义的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：A、，当x＝1时，分式有意义不合题意；B、，当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义符合题意；C、，当x＝1时，分式有意义不合题意；D、，当x＝1时，分式有意义不合题意；故选：B．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故选：D．3．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．a2＜b2 C． D．﹣2a＞﹣2b【分析】选项A、C、D根据不等式的性质，分别判断各选项即可；选项B根据乘方的定义判断即可．【解答】解：A．∵a＜b，∴a﹣1＜b﹣1，故A不符合题意．B．a＜b，不妨设a＝﹣2，b＝1，则a2＞b2，故B符合题意．C．∵a＜b，∴，故C不符合题意．D．∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故D不符合题意．故选：B．4．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．【解答】解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，合并同类项，得：x＞﹣1，故选：A．5．下列运算正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用分式的加减法的法则对各项进行运算，即可得出结果．【解答】解：A、，故A不符合题意；B、＝＝，故B不符合题意；C、＝＝1，故C符合题意；D、＝＝，故D不符合题意．故选：C．6．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2） C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x﹣x3＝x（1﹣x2）＝x（1﹣x）（1+x）．故选：D．7．已知x＝2是分式方程+＝1的解，那么实数k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】把x＝2代入分式方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝2代入分式方程得：﹣1＝1，解得：k＝4．故选：B．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AB∥DC，AD＝BC，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，故选：D．9．如图，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，） D．（﹣2，3）【分析】如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出OH，B′H即可．【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，∴OH＝2+1＝3，∴B′（﹣，3），故选：A．10．如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（）A． B． C． D．无法判定【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，，，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2＝，故选：C．二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）若a+b＝4，ab＝1，则a2b+ab2＝4．【分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案．【解答】解：∵a+b＝4，ab＝1，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝1×4＝4．故答案为：4．12．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是6．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：（n﹣2）•180°＝2×360°，解得，n＝6．故答案为：6．13．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2﹣m的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为m＜．【分析】根据一次函数的性质即可求出m的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2﹣m的图象经过第一、二、四象限，∴，∴m＜，故答案为m＜．14．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若OA＝2，△AOE的周长等于7，则▱ABCD的周长等于20．【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝5，则AB+AD＝2AE+2OE＝10，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于7，∴OA+AE+OE＝7，∴AE+OE＝7﹣OA＝7﹣2＝5，∴AB+AD＝2AE+2OE＝10，∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×10＝20；故答案为：20．三、解答题（本大题共6个小题，满分54分）15．（8分）（1）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2；（2）化简：．【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解，然后再提取公因式；（2）先算小括号里面的，然后算括号外面的．【解答】解：（1）原式＝[（2a+b）+（a+2b）][（2a+b）﹣（a+2b）]＝（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）＝（3a+3b）（a﹣b）＝3（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝＝＝．16．（12分）（1）解不等式组；（2）解方程：．【分析】（1）由①得，x≥﹣3，由②得，x＜2，即可解不等式组；（2）方程两边同时乘以x﹣2，整理得x＝2，检验后即可求解．【解答】解：（1），由①得，x≥﹣3，由②得，x＜2，∴不等式组的解集为﹣3≤x＜2；（2），方程两边同时乘以x﹣2得，1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）整理得，x＝2，经检验，x＝2是方程的增根，∴原方程无解．17．（8分）先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，再根据x是不等式组的整数解，然后即可得到x的值，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：•（+1）＝＝＝，由不等式组，得﹣1≤x＜1，∵x是不等式组的整数解，∴x＝﹣1，0，∵当x＝﹣1时，原分式无意义，∴x＝0，当x＝0时，原式＝＝﹣．18．（6分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）请按下列步骤作图：①作点A关于点O的对称点A1；②连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得线段A1B1；（2）请直接写出（1）中四边形ABA1B1的面积．【分析】（1）①根据对称性即可作点A关于点O的对称点A1；②根据旋转的性质即可将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得线段A1B1；（2）根据网格即可求出（1）中四边形ABA1B1的面积．【解答】解：（1）①如图，对称点A1即为所求；②如图，线段A1B1即为所求；（2）四边形ABA1B1的面积为：6×8﹣2×2﹣4×4﹣4×4﹣2×6＝48﹣2﹣8﹣8﹣6＝24．19．（10分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出了两种打折优惠方案，方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为y1元，按照方案二所需费用为y2元，函数图象分别如图所示．（1）求y1与x的函数关系式；（2）求打折前的每次健身费用，并写出y2与x的函数关系式；（3）小明同学计划暑期前往该俱乐部健身，应怎样选择方案？【分析】（1）设y1与x的函数关系式为y1＝k1x+b，把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出y2与x的函数关系式；（3）根据y1，y2的函数关系式求出当两种方案费用相等时健身的次数．再就三种情况讨论．【解答】解：（1）设y1与x的函数关系式为y1＝k1x+b，∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），∴，解得，∴y1＝15x+30；（2）k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元；∴打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），设y2＝k2x．则k2＝25×0.8＝20，∴y2＝20x；（3）由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．15x+30＝20x，解得：x＝6，∴健身6次时，选择两种打折优惠方案所需费用相等，健身小于6次时，选择方案二所需费用少，健身大于6次时，选择方案一所需费用少．20．（10分）已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE．（1）【模型研究】如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）【模型推广】如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）【模型应用】若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长．【分析】（1）在△ABC中利用中位线性质定理，再利用三角形全等判定平行四边形．（2）延长BD交EC于点F，再证△BDA与三角形DEF全等即可，（3）利用等腰三角形的三线合一，AM垂直BC，再构造直角三角形，分段求出EC的长．【解答】解：（1）设AC与ME交于点F，如图，，在△ABC中，M为BC中点，ME∥AB，∴MF为△ABC中位线，∴F为AC中点，∴AF＝AC，∵AM∥CE，∴∠AMF＝∠CEF，∵∠AFM＝∠CFE，∴△AFM≌△CFE（AAS），∴AM＝CE，∵AM∥CE，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）延长BD交CE于点F，如图，，在△AFC中，M为BC中点，AM∥CE，∴DM为△AFC中位线，∴D为BF中点，∴BD＝DF，∵AB∥DE，AM∥CE，∴∠ABD＝∠EDF，∠BDA＝∠DFE，∴△BDA≌△DFE（ASA），∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形ABDE是平行四边形．（3）过点D作DF⊥BC，如图，，∵△ABC为等边三角形，M为BC中点，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，AB＝4，BM＝＝2，∴AM＝＝2，∵点D为AM中点，∴DM＝，∴CF＝，由（2）可知四边形ABDE为平行四边，∴AB＝AE＝4，在Rt△DFE中，DE＝4，DF＝MC＝2，∴EF＝＝2，∴CE＝EF+CF＝3．一、填空题（每小题4分，共20分）21．（4分）若分式的值为0，则x＝2．【分析】分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．【解答】解：∵x2﹣4＝0，∴x＝±2，当x＝2时，x+2≠0，当x＝﹣2时，x+2＝0．∴当x＝2时，分式的值是0．故答案为：2．22．（4分）若a﹣＝，则a2+值为8．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵a﹣＝∴（a﹣）2＝6∴a2﹣2+＝6∴a2+＝8故答案为：823．（4分）关于x的不等式组的整数解只有4个，则m的取值范围是﹣2≤m＜﹣1．【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：不等式组整理得：，解集为m＜x＜3，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，﹣1，∴﹣2≤m＜﹣1．故答案为：﹣2≤m＜﹣1．24．（4分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为．【分析】根据折叠的性质可得出DC＝DE、CP＝EP，由∠EOF＝∠BOP、∠B＝∠E、GE＝GB可得出△GEF≌△GBP，根据全等三角形的性质可得出GF＝GP、EF＝BP，设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，在Rt△ADF中，依据AF2+AD2＝DF2，可得到x的值．【解答】解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，∴DC＝DE＝4，CP＝EP．在△GEF和△GBP中，，∴△OEF≌△OBP（ASA），∴EF＝BP，GF＝GP，∴BF＝EP＝CP，设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，∵∠A＝90°，∴Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，∴（4﹣x）2+32＝（1+x）2，∴x＝，∴CP＝，故答案为：．25．（4分）将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2．将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC+GC的最小值为2．【分析】连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，先证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE＝CG，推出EC+GC＝EC+ED＝HE+ED≥DH，再证明四边形ABCD为正方形，从而H、A、C三点共线，再用勾股定理求出HD即可．【解答】解：如图，连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，∵将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，∴GE＝CD且GE∥CD，∴四边形GEDC为平行四边形，∴ED＝CG，∴EC+GC＝EC+ED＝HE+ED≥DH，∵CH⊥AE，AE∥BD，∴CH⊥BD，∵∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2，∴四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴H、A、C三点共线，记HC与BD相交于M，∴MD＝，HM＝3AM＝3MD，∵BD＝＝2，∴HD＝＝2，∴EC+GC的最小值为2．故答案为：2．二.解答题（本大题有3个小题，共30分）26．（8分）在精准扶贫活动中，青春党支部给帮扶的某贫困家庭赠送了甲、乙两种果树树苗让其栽种．已知乙种树苗的单价比甲种树苗的单价贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元？（2）青春党支部决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵赠送给另一贫困家庭，此时，甲种树苗的单价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的单价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么最多可购买多少棵乙种树苗？【分析】（1）设甲种树苗的单价是x元，则乙种树苗的单价是（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m棵乙种树苗，则购买（50﹣m）棵甲种树苗，利用总价＝单价×数量，结合再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种树苗的单价是x元，则乙种树苗的单价是（x+10）元，依题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝30+10＝40．答：甲种树苗的单价是30元，乙种树苗的单价是40元．（2）设购买m棵乙种树苗，则购买（50﹣m）棵甲种树苗，依题意得：30×（1﹣10%）（50﹣m）+40m≤1500，解得：m≤，又∵m为整数，∴m的最大值为11．答：最多可购买11棵乙种树苗．27．（10分）如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，连接NM，NP．（1）图1中，线段NM，NP的数量关系是NM＝NP，∠MNP的度数为60°；（2）把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP．求证：△MNP是等边三角形；（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝2，AB＝5，请直接写出△MNP面积的最大值．【分析】（1）根据点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，得MN＝，PN＝，MN∥AB，PN∥AC，可知MN＝PN，而∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，即可求出∠MNP＝60°；（2）先证△ABD≌△ACE（SAS），得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，然后由（1）同理可得MN＝PN，∠MNP＝60°；（3）先求出MN的最大值，由（2）知△MNP为等边三角形知，MN最大时，△MNP面积的最大，求出此时的面积即可．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，∴MN＝，PN＝，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，∴∠MNP＝60°，故答案为：NM＝NP，60°；（2）由旋转得：∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，∴MN＝，PN＝，MN∥BD，PN∥CE，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形；（3）由题意知BD≤AB+AD，即BD≤7，∴MN≤，由（2）知△MNP是等边三角形，