微积分(二)课后题答案-复旦大学出版社-第十章1

#由已知Xb bS=eXdX(JbI)a^,dXbdχXb _1b=X(axC)eXdxc^xb(-(b2I)aX__bχ-dx亠C)=-CXbX=Xo时，S=So代入上式得soxofa,C=Xob1S二--arbcx

X,令SyO得唯一驻点x=(2)r7,将Cbcsoxo-bΓxo=()

bs0x0-abXo,由问题的实际意义知，最值存在，所b ,rCX得

a代入得是时间=()

bs0X0-abXo时,其平均单位时间的使用费 S最高.习题10；1.求下列微分方程的通解：(1)y:::=xeX；(2)y〃1；2；1X2(3)(1x)y''∙2xy'=0;⑷y〃-(y)2O23dX(5)X 2仁0;(6)yy"-(y')2(y)3=odt解：(1)对方程两端连续积分三次得Il- Xy=(X-1)e 'C1XV1 “y=(X-2)e 亠c1x亠C22XLCIXy=(x-3)e c2xC32这就是所求的通解•对方程两端连续积分两次得y=arctanXC1y=arctanXdXCIy=arctanXdXCIX=XarCtan1X-―In(12X)CIX C2这就是所求的通解令y=p(x),则y=P(X)，于是原方程可化为

2*(IX)P2xp=0分离变量得空 2^xτdx,积分得P1Xcιcιp=C,即y再积分得y=c1arctanX C2.(4)令(4)令y=P(X),则y=P■,原方程可化为d⅞=dXP两边积分得1-=XP两边积分得1-=XPCi,即1X C1dy再积分得dy再积分得亦即dx X C1|X■Ci|■C2(5)令X=P(X),则X=P,原方程变为dxdp 卄P1=0,即PdP=dx13dx.X2两边积分得 P2-1C1X2CiXdX亦即兰―dtXI dx=dt.1■cx2积分得一..1C2.从而1亠c1χ2=(CIt亠C2)2.这就是所求的通解•(6)令y=P(y),则∙p,代入原方程得.dydp2 3yp——-P+P=0即Pydy J些-PP2dy=O若P=O,则y=0,y=c是方程的解.=0,于是两边再积分得由y(1)=0得3XIn6II11X-—X36C3.=0,于是两边再积分得由y(1)=0得3XIn6II11X-—X36C3.36所以，原方程满足初始条件的特解为11 3InX-——X3611+——36(2)令y■=p(x)，则y=p:原方程化为X2空XP=1.即如1PdxXdx一阶非齐次线性方微分方程1P(X)=一，Q(x)=X,X-2其通解为dxX-2(Xe1dxyX1dx c1)=一(InX■c1)X若yd^.p.pX

In2=O,分离变量得X

In2dy p—Py积分得Clyp“y(1-P) 即 P^Cly于是：dy c1yHnJ即( c1)dy=c1dx.dt1■c1y y积分得Cl(X_y)y=c2e2. 求下列微分方程满足初始条件的特解：3⑴yFnx,y(1)T,y'⑴ ,y〃(1)=1;32xy〃对=1,y(l)=0,y'(1)=1;y〃y2=1, y(0)=0,y'(0)=1.解：(1)方程两边积分得：y"=XInX—X∙q,由y1=1-得C1=0,于是y"=xInx-x,2TOC\o"1-5"\h\z上式两边再积分得 y=—InX-∙3X? c2.2 43由y(1) 得C2411即y(InXG),X由y(1)=1得C1=1,于是 (InX1),从而XTOC\o"1-5"\h\z1 1 2y(Inx1)dx=j(lnX1)d(lnX1) (11nx) c2•x 21由y(1)=O得c2212112

y(1Inx)即y=InxInx.22(3)令yJp,则yχ=p■,原方程可化为dP 2一p,由y(0)=1,即X=0时，P=1.dxdy显然p=1是上述方程的解，即 1,积分得y=x∙c,由y(0)=0得C=O,所以，dx原方程满足初始条件的特解为 y=X.已知某个二阶非齐次线性微分方程有三个特解 y1=x,y2^∙ex和y3=1∙χ∙ex,求这个方程的通解.解：因为y1,y2,W是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解， 则y? - y1 =ex, y3 -y?=1是Xe某对应的齐次微分方程的特解且 一=ex=常数，故ex和1是其对应的二阶齐次线性微分方1程的两个线性无关的特解，故对应齐次线性方程的通解为y=C1亠c2ex又y1=x是这个二阶非齐次线性微分方程的特解，故这个方程的通解是y=C1亠C2ex亠X.求下列齐次线性方程的通解或在给定条件下的特解：y〃 My' 4y=0; (2) y〃 -y' -2y=0;TOC\o"1-5"\h\z(3)y〃 5y' 6y=0, y(0)=1, y' (0) ≡6;ππ π 6⑷y"-2y'-10y=0,y( )=0,y'(—)=e.6 6解：(1)特征方程为r2-4r∙4=0,它有两个相等的特征根 r1=r2=2,所以，所求的通解为y=(c1■c2x)e2x.特征方程为r—r—2=0,它有两个不相等的实特征根 r1=T,r2=2,故所求的通解为y=c1e ■c2e2x.特征方程为r25r，6=0,它有两个不相等的实特征根 r1=-2,r2=-3,故所求

的通解为y=c1eI+c2e'x由y(0)=1得G+c2=1,又由y(0)=6及厂=—2c1e'x—3c2e'x得2c1+3c2=—6,解方程组c1c2=1 C1=92 得 -2x=(-2AxA-2B)e2c13c2=-6 Jc2=-8所以，原方程满足初始条件的特解为 y=9e'x_8e^.仏=1±3i,故方程的通解为y=ex(c1CoS3x亠仏=1±3i,故方程的通解为y=ex(c1CoS3x亠c2sin3x),ππ -πZ由y()=o,y()=e得G=661-,C2=0,故所求特解为3y=(-4AXy=(-4AX4B4Ax)e-2x1XO

y=--ecos3X3求下列非齐次线性微分方程的通解或给定初始条件下的特解:(1)y''+3y'-10y=144xe-2x;2⑵y''-6y' 8y=8x4x-2;π π(3)y" y=cos3x,y()=4,y'(-)=-1;24x⑷y〃-8y, 16y=e,y(0)=0,y'(0)=1.2解:(1)特征方程r∙3r-10=0有两个不相等的实数根 r1=-5,D=2,故对应齐次方程的通解为Y^CIe^X■c2e2x因为■--2不是特征方程的根，故可特解为* 2Xy=(AXB)e代入原方程可解得 A=「12,B=1.所以y=(1-12X)=eX.所求通解为-2X -5X 2Xy=(1—12x)e■c1e■c2e(2)特征方程r2-6r=0有两个不同的特征根 r1=2,r2=4,故对应齐次方程的通

解为解为2x 4xY=c1e 亠c2e又因为∙=O不是特征方程的根，故可设特解为*2y=AXbx=2Ax∙B,y=2A,代入原方程可解得A=1,B=2,C=1,A=1,B=2,C=1,22=X2x1=(x1)∙所求通解为y=(X∙1)22x亠c所求通解为y=(X∙1)22x亠c1e4x亠c?e(3)特征方程为r2 1=0,它有两个共复数根r1,2=±i,故对应齐次方程的通解为Y=GCoSXc2SinX为:考察方程yy则y*l3iAe3ix3iX=e因为w=3i不是特征方程的根，故可设特解为* 3ixy=Ae1■-9Ae,代入方程y■y=e?",得A,所以8* 13ix1y e (cos3x亠iSin3x)88取y的实部，即得到方程yy=cos3x的特解.故原方程y亠y=cos3x的通解为由初始条件y—=4,12J(4)特征方程r2-8r*1y1=-一cos3x81ycos3xc1cosXc2SinX8y=3sin3x-c1Sinx亠c2cosX8y-=1得G=-,c^4,故所求的特解为281 丄5 丄y=--cos3X一cosX4sinx881^=0有两个相等的实根r1=r2=4，故对应齐次方程的通解因为.=4是特征方程的重根，故可设特解为* 24xy=AXe24x=—Xe24x=—Xe2将其代入方程y“—8y'16y=e4x得A ,故特解为2所以原方程的特解为y=1xf^c1+c2=2解方程 得f^c1+c2=2解方程 得C1=2,C2C1-C2=2所以满足题设条件特解为y--2x2ex24x- 24x 4X 4x_又由y=Xe2xe c2e 4c2xe及y(0)=1,得C2=1.1所以，所求特解为y=丄x2e4xxe4x2设对一切实数X,函数f(x)连续且满足等式f'(x)=x2∙∖(t)dt,且f(0)=2,解：方程两边求导得求函数f(x).解：方程两边求导得f(x)=2x亠f(x)，即y—y=2x，特征方程r—1=0有两个不同的实根r1=1,r2=-1,故对应齐次方程的通解为 Y=CIeX∙c2e^因为■=0不是特征方程的根，故可设特解为Y=AxB,代入原方程得--2,B=0,故特解为y=…2∏,所以方程的通解为--2x C1ex■C2eJ由已知f(0)=2得c1■C2=2又由题设得「(0)=0,及y•=由已知f(0)=2得c1■C2=2Ci-C2 =2.=0f(x)X--2x2e.7.设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+ay'+by=θex的一个特解为y=e2x∙(1x)ex,试确定常数a,b「并求该微分方程的通解.解：将已给的特解代入原方程，得(42ab)e2x(3 2ab)eX(Iab)XeX=:ex比较两端同类项的系数，有42ab=OIab=O2ab=:解得a=_3,b=2, =_1.于是原方程为yJ3y2y二_ex.其特征方程为r2-3r∙2=0,特征根为r1=1,r2=2,对齐次方程的通解为X 2X=c1e亠c2e又因为，=1是特征方程的单根，故设特解为 y=AXeX,代方程y'"—3y'2y=-ex，可解得A=1,故特解为y^xex所以该微分方程的通解为X丄 2χ丄 Xy=c1e亠c2e 亠Xe.&设函数(X)可微，且满足XX「(x)=e亠I(t一X):(t)dt，求(X)•X X X解：由:(x)=eX亠I(t—x)'(t)dt得:(0)=1,又：(x)=eX亠∣t「(t)dt—x∣(t)dt⅛ *0*0X两边求导得：:(x)=eX∙χ>(x)-°:(t)dt-X:(x),即X「(X)=ex-0;：(t)dt,从而：(0)=1再求导得：：(X)=^^(X),即、、二e可求得对应齐次方程的通解为Y=CICoSX∙C2sinX,又因为，=1不是特征方程2r7=0的根，故可设特解为* Xy=Ae1将其代方程y'y=ex中可求得A=1,故方程的通解为 y=c一一 --1XICoSX c2SinX—e..又22由1(0)=1,：(0)=1及y--GSinX c2cosX e得11Cl ,C2 ,所以222y1 X . 1 X=-(CoxS Si,r即 (Xe=丁(CoSXSinXe).229∙求方程y''-y'-2y=3e^在x=0处与直线^X相切的解.

解：特征方程r2—r_2=0有两个实根r1=-1,r2=2,故对应的齐次方程的通解为Y=c1e*■c2e2x,又因为‘--1是特征方程的单根，故可方程的特解为TOC\o"1-5"\h\z* Xy=AXe_代入原方程可解得A=-I,故原方程的通解为_x 2x _xy=c1e_■c2e —xe_,…(1)由已知在X=O处与直线y=X相切，则y(0) =0,y(0) =1 ,又X 2X X Xy=-c1e^-2c2e -e^■Xe一，…(2)将y(0)=0,y(0)=1分别代入(1)，(2)式中得c1c1 c2=0c1 2C2--2可解得c1 ,c232所以，所求的解为y--—e-Xe310.设函数y(x)的二阶导函数连续且y'(0)=0,试由方程y(x)=11 ∙y(t)-2y(t)6te」dt3占确定此函数.1解:方程两边对X求导得y(x)=—[—y∙(x)—2y(x)亠6xe」],即y亠3y亠2y=6xe」….(1)3它的特征方程r23r∙2=0有两个相异的实根 r1=-1,r2=-2,故方程(1)对应的齐次方程的通解是Y^CIe^■c2e^x又•=-1是特征方程的单根，故方程(1)的特解可设为* -K 2y=X(AXB)e(AXBx)=e将其代入方程(1),可解得A=3,B=—6,从而特解为y=(3x2—6x)e」，方程(1)的通解为_V 2X 2 _Vy=c1e C2e (3X-6x)e,…⑵1由y(x)=1 — ；［—y(t)—2y(t)6te丄］dt得y(0)=1,又•V 2Y y 2 __x^=-CIe —2c2e (6x—6)e —(3X—6x)e,…⑶由y(0)=1,y(0)=0及(2),(3)式可得G c2=1G亠2c2--6故方程（故方程（1）的满足已知条件y(0)=1,y(0)=0的特解为X 2X 2 Xy=8J 7e一(3x-6x)e一即由所给方程确定的函数为y(x^8e^-7e-x(3χmg2•mg2•因而有k当沉入时，液体的反作用力与下沉的速度成正比例，求质点11.一质点徐徐地沉入液体，的运动规律.当沉入时，液体的反作用力与下沉的速度成正比例，求质点解：由题设条件与牛顿第二定律有d2sm—7=mgdt-k空（k为比例系数）dt2dSkds即 g,…⑴dtmdt这是一个二阶线性非齐次方程，它的特征方程kr=0有两个不相等的实根mkr=0,r ,它对应的齐次方程的通解mc2ektm,又因∙=0特征方程的单根，故可设特解为S=At,代入方程（1）可得Amg

kk,故方程（1）的通解为 c1c2emmgt.k且s__kc2emkηm mg,又开始沉入时即kt=0时,s=0,ds=0,将其代入上两式可解得dtC1C22

mgS 厂k2mg2

kmgt.k习题10∙41.某公司办公用品的月平均成本 C与公司雇员人数X有如下关系:C'=C2e^-2C且C（0）=1,求C（X）.

解：方程C∙=C2e*_2C可变形为:C2C=e~C=这是：•=2的伯努利方程,令Z-CI--CJ,方程可化为：Z•一2Z ,这是一阶非齐次线性微分方程且P(X)=-2,Q(x)=_e—,其通解为：Z=e^-2dx-Jdx. Z=e^-2dx-Jdx. X∣~i' 2x. 3x((-e一)e dxm)=e(-e~dxm)=e2x(1e~xdxm)=1e3 31 1(为了与成本C区别，这里的任意常数用m表示),于是 e」me2x,由已知C(O)=I,可C3得:m=2,从而1=得:m=2,从而1=1ejs2e2x3C3 33x12eX3e2.设R=R(t)为小汽车的运行成本,3ex,所以C(X)=FS=S(t)为小汽车的转卖价值，它满足下列方程:aR'-,S'--bS,S由已知条件所以R(t)=abS由已知条件所以R(t)=abS。btebS。其中a,b为正的已知常数，若 Ro)=0,S(0)=S(购买成本)，求R(t)与S(t).解：先解一阶线性方程S-_bS,求出S(t),分离变量得：竺-_bdt,积分得^CIe^tSS(0)=S0,可得C1=S0,所以S(t)=S0M,将S(t)=S0/代入所给方程bSo—ebt,积分得:R(t)—ebtC2,由已知条件R(0)=0得C?bSo3.设D=D(t)为国民债务，Y=Y(t)为国民收入，它们满足如下的关系:D'RY+P,Y'="Y其中：■,^-,为正已知常数.(1)若D(O)=D0,Y(0)=Y°,求D(t)和Y(t);⑵求极限IimD°tτ乂丫⑴解：(1)先解方程Y=Y,求出Y(t)；分离变量得：也=dt,积分得Y=C1et,由Y(O)=YO得YCl=丫0,所以Y(t)=Λet,将Y(t)=Y°et代入D丄〉丫「中得：D=〉Y°et「，积分得O(YOYQ GYOD-e,-C?,由D(O)=DO得C^Do 0,所以

D(t)=也e"+Pt+D0—竺07