过关测试卷：第17章 勾股定理（解析版）

第17章勾股定理过关测试（时间：90分钟，分值：100分）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（）A．4 B．2 C．6 D．8【答案】A．【解析】解：如图，连接FC，由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，∴EO垂直平分AC，∴AF＝FC，∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO，在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝6，∴FC＝AF＝6，FD＝AD﹣AF＝2．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，即CD2+22＝62，解得CD＝4．故选：A．2.（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（）A．15 B．18 C．20 D．22【答案】A．【解析】解：∵把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，∴A′B′＝AB＝5，A′C′＝AC＝3，∠A′C′B′＝∠ACB＝90°，A′A＝CC′＝3，∴B′C′＝＝4，AC∥A′C′，∴四边形ACC′A′是矩形，∴四边形ABC'A'的面积＝（AA′+BC′）•AC＝×（3+4+3）×3＝15，故选：A．3.（3分）如图，在△中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形的面积为A． B．9 C．6 D．【答案】D．【解析】解：连接交于，，，垂直平分，，，，，，∴△是等边三角形，，，，，，四边形的面积，故选：D．4.（3分）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是△ABC的高，则的长为A． B． C． D．【答案】D．【解析】解：由勾股定理得：，，，，，故选：D．5.（3分）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把△ABD沿着翻折，得到△AED，与交于点，连接交于点．若，，，△ADG的面积为2，则点到的距离为（）A． B． C． D．【答案】B．【解析】解：，，，由翻折可知，△ADB≌△ADE，，，，，，，，设点到的距离为，则有，，故选：B．6.（3分）下列各组数为勾股数的是A．7，12，13 B．3，4，7 C．3，4，6 D．8，15，17【答案】D．【解析】解：A、不是勾股数，因为；B、不是勾股数，因为；C、不是勾股数，因为不是正整数；D、是勾股数，因为；，且8，15，17是正整数．故选：D．7.（3分）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A． B． C． D．【答案】B．【解析】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．8.（3分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【答案】B．【解析】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是，，所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．9.（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）A． B．4 C．3 D．【答案】A．【解析】解：如图，连接FC，则AF＝FC．∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO．在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝．故选：A．10.（3分）如图，在△中，，，，将△沿直线翻折至△所在的平面内，得△．过点作，使，与的延长线交于点，连接，则线段的长为A． B．3 C． D．4【答案】C．【解析】解：如图，延长交于，，，，将△沿直线翻折，，，，，，，，，，，又，，∴△≌△（SAS），，，，，，，，，，，，，，，故选：C．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11.（3分）如图，在△ABC中，，，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则，，三者之间的数量关系是．【答案】．【解析】解：如图，连接，，，，∵△PCQ是等腰直角三角形，，，，，又，∴△ACP≌△BCQ（SAS），，，，，，故答案为：．12.（3分）如图，在△中，，，，点在边上，，联结．如果将△沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为．【答案】．【解析】解：如图，过点作于．，，，，，∴△是等边三角形，，，，，，，，到直线的距离为，故答案为．13．（3分）如图，在数轴上，点、表示的数分别为0、2，于点，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点表示的实数是．【答案】．【解析】解：，，，，，，，，，点表示的实数是．故答案为：．14.（3分）如图，在△ABC中，，，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则，，三者之间的数量关系是．【答案】．【解析】解：如图，连接，，，，∵△PCQ是等腰直角三角形，，，，，又，∴△ACP≌△BCQ（SAS），，，，，，故答案为：．15．（3分）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是．【答案】．【解析】解：延长到，使，连接，，同理，，，，是等腰直角三角形，，，故答案为：．16．（3分）一个三角形的三边的比是，它的周长是36，则它的面积是．【答案】54．【解析】解：设三角形的三边是，，此三角形是直角三角形，它的周长是36，，，，三角形的面积，故答案为：54．17.（3分）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图，且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为．【答案】27．【解析】解：由题意可得在图1中：，，图2中大正方形的面积为：，，，，故答案为：27．18.（3分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km．【答案】（1）20；（2）13．【解析】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣（﹣8）＝20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：（1）20；（2）13．19.（3分）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．【答案】6或或．【解析】解：①如图1当AB＝AC＝5，AD＝4，则BD＝CD＝3，∴底边长为6；②如图2．当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝3，∴BD＝2，∴BC＝＝，∴此时底边长为；③如图3：当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝＝3，∴BD＝8，∴BC＝，∴此时底边长为．故答案为：6或或．20.（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．【答案】45． 【解析】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．三、解答题（共5小题，满分40分）21．（6分）如图，中，，，是边上一点，且，若．求的长．【解析】解：过点作于点，如图所示．，，，．，，．在中，，，即，，．又，，．22．（6分）如图，已知等腰的底边，是腰延长线上一点，连接，且，．（1）判断的形状，并说明理由；（2）求的周长．【解析】解：（1）是直角三角形，理由是：，，，，，即是直角三角形；（2）设，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，，的周长．23．（8分）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果将梯子的低端外移，顶端沿着墙壁也下滑吗？【解析】解：依题意，得，，在中，根据勾股定理，可得：，在中