5-1-期权定价的数学基础

1第五章〔上〕：期权定价的数学根底第一节衍生产品定价的三种方法第二节博弈论方法第三节资产组合复制第四节概率方法第五节风险第六节多期二叉树和套利2024/5/102第一节衍生产品定价的三种方法某股票现价为100美元，在一年后股价可以是90美元或120美元，概率并未给定，即期利率是5%。一年之后到期执行价为105美元的股票期权的公平价格是多少？2024/5/103三种方法博弈论方法资产组合复制方法概率方法或期望价值方法第一节衍生产品定价的三种方法2024/5/104两个假定：第一，到期日的价格只能是两种特定价格中的一种；第二，第一个假设对三种方法都适用。第一节衍生产品定价的三种方法2024/5/105博弈论研究的是理性的人之间如何进行策略选择的。第二节博弈论方法2024/5/106第二节博弈论方法假设期权的价格为，股票的价格为，构造如下的资产组合：买入股期权和股股票，假设或表示卖空。那么时资产组合的价值这里、是未知的。当时：2024/5/107第二节博弈论方法一、约减随机项让不取决于股价涨跌该项策略说明应该卖出两股期权的同时买入一股股票。2024/5/108二、期权定价第二节博弈论方法解得：2024/5/109三、套利假设做市商愿意以7.25美元的价格购置期权，此时期权价格被高估了，于是出现套利空间。策略1：买入1股股票，卖出2股期权。本钱：第二节博弈论方法2024/5/10101年末冲销该头寸：投资组合：股票——期权的净值为90美元；归还债务本利：于是无风险利润：。第二节博弈论方法2024/5/1011假设做市商以7.00美元的价格提供期权，现在期权的价格被低估了。如何操作？第二节博弈论方法2024/5/1012策略2：逆向操作：买入2股期权，而卖出1股股票。〔无风险利润：$0.30〕

第二节博弈论方法2024/5/1013结论：期权的价格一旦偏离理论价格一定幅度，投资者或者套利者可以利用这个时机通过大量买卖期权和股票赚取无风险利润。可以认为：市场反响快，以至任何可利用的套利时机已经被利用，整个市场已不存在套利时机。第二节博弈论方法2024/5/1014四、一般公式第二节博弈论方法

构造资产组合：买入1股衍生产品和卖空股票。资产组合的初始价值为：

选择，使得资产组合的价值与股票的最终价值无关2024/5/1015第一节博弈论方法2024/5/1016第一节博弈论方法Δ量，期权价值变化与股票价格变化之比第一节博弈论方法资产组合的初始价值：资产组合的最终价值：

假设无风险利率为r，时间长度为那么2024/5/1017于是得到衍生产品的定价公式：(3-1)否那么，市场将会出现无风险套利时机。如何证明？2024/5/1018第一节博弈论方法一、背景2024/5/1019第二节资产组合复制第二节资产组合复制二、资产组合匹配

2024/5/1020包含a单位的股票和b单位的现金，无风险资产利率为r，那么在t=0时：2024/5/1021第二节资产组合复制〔3-2〕

于是资产组合的价值和衍生证券的价值一致，该资产组合复制了衍生证券V。2024/5/1022第二节资产组合复制〔3-3〕根据〔3-2〕解得：第二节资产组合复制2024/5/1023将U和D分开得2024/5/1024第二节资产组合复制〔3-4〕其中三、期望价值定价方法无套利定价概率〔风险中性概率〕2024/5/1025第二节资产组合复制〔3-5〕〔3-6〕2024/5/1026第二节资产组合复制如何理解式〔3-5〕可表示概率？2024/5/1027第二节资产组合复制定义:命题:风险中性概率测度必是线性定价测度定理:市场无套利当且仅当存在风险中性概率测度四、如何记忆用来定价的概率

2024/5/1028第二节资产组合复制2024/5/1029第二节资产组合复制〔3-7〕

例股票现在的价格为50美元。一年后，它的价格可能是55美元或40美元。一年期利率为4％。现计算两种看涨期权的价格，一种执行价为48美元，另一种执行价为53美元。同时，为一执行价为45美元的看跌期权定价。2024/5/1030第二节资产组合复制假设股价为100美元，将来上涨时价格为l20美元，下跌时价格为90美元。假设观察一年的市场行为，股票上涨的概率的合理选择(见图3-5)，是使股票的期望回报大致在15％左右，该回报比将100美元投资于平安的银行账户要高得多。()。2024/5/1031第四节概率方法2024/5/1032第四节概率方法2024/5/1033第四节概率方法引入一个假想的投资者(HypothesisInvestor)，从此以后称为H．I．，其有如下特征：〔1〕H．I．为风险中性投资者，这与保守投资者有很大差异。一位风险中性的投资者是风险无差异的，即对于他来说，确定得到1美元的投资并不比期望值为1的不确定性投资更有吸引力。大多数人并非风险中性。〔2〕对于H．I．而言，同等回报的股票和无风险投资之间是没有差异的。第四节概率方法构造一个包含1股股票的资产组合，那么美元，且一年以后以无风险利率投资100美元，那么一年后得105〔r=0.05〕风险中性的投资者，将这些投资同等看待，即：2024/5/1034

重要说明：所求出的p值并不一定和投资者的观点以及股票市场涨跌的实际概率相对应，它仅仅是一个产生与无风险回报相等的股票回报。2024/5/1035第四节概率方法2024/5/1036第四节概率方法假设执行价为105，那么期权合约的价值为：假设某公司的股票以60美元出售，一年以后的价格表现见图3-6所示。2024/5/1037第五节对冲风险交易商提供一个执行价为65美元，一年后到期的看涨期权，无风险利率为0.048，问期权的公平价格？如果交易商的报价为6.35美元卖出看涨期权，6.00元买入，两者之差称为交易商的差价。一客户以每股6.35美元的价格购入100000股〔1000手〕看涨期权，交易商现在持有一个风险很大的头寸，决定通过购置股票对冲风险，应该买入多少股票，获利情况如何？2024/5/1038第五节对冲风险第五节对冲风险解：2024/5/1039第五节对冲风险2024/5/1040买入：此时，本钱：因此，借贷3000000-635000第五节对冲风险情形1：股价上升到80情形2：股价下跌至502024/5/10412024/5/1042第六节两期二叉树2024/5/1043第六节两期二叉树2024/5/1044第六节两期二叉树假设两期后一个衍生产品对应于股票二叉树中的每一个最终结果都有一个特定的价值，分别为如图3-9所示。那么如何确定衍生产品的价格2024/5/104