广西壮族自治区桂林市绍水高级中学高三数学文联考试卷含解析

广西壮族自治区桂林市绍水高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，且a＋b与2a－b平行，则实数x的值等于()A．－6

B．6

C．－4

D．4参考答案：C略2.已知两条直线m，n和两个不同平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，则（）A．m∥n B．m⊥n C．m∥l D．n⊥l参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用直线与平面平行于垂直的关系，平面与平面垂直的关系判断选项即可．【解答】解：两条直线m，n和两个不同平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，则m，n的位置关系是，平行，相交或异面，直线n与l的位置关系是垂直，如图：故选：D．【点评】本题考查空间直线与平面，平面与平面的位置关系的判断与应用，考查空间想象能力．3.已知函数与，则它们所有交点的横坐标之和为（

）A．0 B．2 C．4 D．8参考答案：C考点：1、函数的零点；2、函数的性质；3、函数图象.【易错点睛】本题主要考查函数的零点、函数的性质、函数图象，属难题.本题求两函数交点的横坐标之和关键是画出两个函数的图象，根据两个函数有相同的对称轴，利用对称性求得交点横坐标之和，本题中作函数的图象时注意函数的平移及对称性，否则容易出错，数形结合是本类题解题的关键，解题时应该注意函数的性质，比如周期性、对称性、单调性等.4.函数在区间上的最小值是（）A． B． C． D．0参考答案：B5.若，，，则的值是

A．－1

B．

C．

D．参考答案：D略6.设不等式表示的平面区域与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为（）．

．

．

．参考答案：C物线的准线为，所以它们围成的三角形区域为三角形.由得，作直线，平移直线，当直线经过点C时，直线的截距最小，此时最大.由得，即，代入得，选C.7.已知,若在上恒成立，

则的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．1 B．0 C．﹣2 D．2参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题通过赋值法对f（2﹣x）=f（x）中的x进行赋值为2+x，可得﹣f（x）=f（2+x），可得到函数f（x）的周期为4，根据奇函数的性质得到f（0）=0，再通过赋值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）的值，即可求解．【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x），∴f[2﹣（2+x）]=f（2+x），即f（﹣x）=f（2+x），即﹣f（x）=f（2+x），∴f（x+4）=f（4+x），故函数f（x）的周期为4．∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）﹣f（x）=0，且f（﹣1）=2，∴f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=2，f（4）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）]+f+f（1）=0+（﹣2）=﹣2，故选：C．9.设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1﹣a7+a13=6，则S13=（）A．78 B．91 C．39 D．2015参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】在等差数列{an}中，由a1﹣a7+a13=6，解得a7=6，再由等差数列的通项公式和前n项和公式能求出S13的值．【解答】解：等差数列{an}中，∵a1﹣a7+a13=6，∴2a7﹣a7=6，解得a7=6．∴S13=．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的性质，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道基础题．10.在△ABC中，点D在BC边上，且,则

（

）A.B.

C.D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若a∈R+，则当a+的最小值为m时，不等式m＜1的解集为．参考答案：{x|x＜﹣3或x＞﹣1}【考点】指、对数不等式的解法．【分析】利用基本不等式求出a+的最小值m，再代入不等式m＜1，化为等价的不等式x2+4x+3＞0，求出解集即可．【解答】解：∵a∈R+，∴a+≥2=，当且仅当a=，即a=时取“=”；∴a+的最小值为m=；∴不等式m＜1为：（）＜1，等价于x2+4x+3＞0，解得x＜﹣3或x＞﹣1；故所求不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}．故答案为：{x|x＜﹣3或x＞﹣1}．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值以及指数不等式的解法与应用问题，是基础题目．12.已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为

参考答案：因为向量与向量的夹角为，所以在上的投影为，问题转化为求，因为故所以在上的投影为.13.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是

▲

．参考答案：14.在的二项展开式中，的系数为

。参考答案：-4015.(文科)已知函数是上的偶函数，当时，有关于的方程有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则=

．参考答案：(文)16.已知，且，则

．参考答案：-117.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组1～20号，第二组21～40号，…，第五组81～100号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为

．参考答案：64设在第一组中抽取的号码为，则在各组中抽取的号码满足首项为，公差为的等差数列，即，又第二组抽取的号码为，即，所以，所以第四组抽取的号码为．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝ex－ax，其中a＞0.（1）若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立.参考答案：解：（1）f′(x)＝ex－a.令f′(x)＝0得x＝lna.当x＜lna时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞lna时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.故当x＝lna时，f(x)取最小值f(lna)＝a－alna.于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当a－alna≥1.①令g(t)＝t－tlnt，则g′(t)＝－lnt.当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减.故当t＝1时，g(t)取最大值g（1）＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立.综上所述，a的取值集合为{1}.（2）由题意知，k＝＝－a.令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－，则φ(x1)＝－

[－(x2－x1)－1]，φ(x2)＝

[－(x1－x2)－1].令F(t)＝et－t－1，则F′(t)＝et－1.当t＜0时，F′(t)＜0，F(t)单调递减；当t＞0时，F′(t)＞0，F(t)单调递增.故当t≠0时，F(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.从而－(x2－x1)－1＞0，－(x1－x2)－1＞0，又＞0，＞0，所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.因为函数y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立.19.（本小题满分12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

（1）求回归直线方程，其中b=－20（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入－成本）参考答案：（I）由于……………2分

…………4分

所以……………5分

从而回归直线方程为………………6分（II）设工厂获得的利润为元，依题意得

…………8分

………………10分当且仅当时，取得最大值故当单价为元时，工厂可获得最大利润……………12分20.已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=sin2C，且△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c.参考答案：.解：（1）,又，

………3分又

………4分

(2)由已知得，即

又∵，∴

………6分

由余弦定理得：

∴

………8分21.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，分别为线段AB，BC上的点，且，，.（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角.参考答案：解:（1）证明：连接，由题意知…………………（2分）,则,…………………（4分）又因为，所以因为，都在平面内，所以平面……………………（6分）（2）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系，且与平面所成的角为，有，……………（7分）则∴因为………………（8分）由（1）知平面，∴平面∴为平面的一个法向量.设平面的法向量为，则∴，令，则，∴为平面的一个法向量.……………（10分）∴…………（11分）故平面与平面的锐二面角的余弦值为,所以平面与平面的锐二面角为…………（12分）

22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程k消去参数t得直线l普通方程又由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C的方程可化为（x﹣1）2+y2=1，设与直线l平行的直线为y=x+b，当直线l与曲线C相切时，，当时，P到直线l的距离达到最大，最大值为两平行线的距离．【解答】选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由题，直线l的参数方程为（其中t为参数）．消去直线l参数方程中的参数t得直线l普通