山东省青岛市莱西第七中学高一数学理月考试题含解析

山东省青岛市莱西第七中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.cos215°﹣sin215°的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos215°﹣sin215°=cos2×15°=cos30°=．故选C【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键．2.已知圆O的半径为2，P，Q是圆O上任意两点，且，AB是圆O的一条直径，若点C满足（），则的最小值为（

）A.-1 B.-2 C.-3 D.-4参考答案：C因为，由于圆的半径为，是圆的一条直径，所以，，又，所以，所以，当时，，故的最小值为，故选C．3.已知[1,3]是函数y＝－x2＋4ax的单调递减区间，则实数a的取值范围是()A．

B．

C．

D．参考答案：A4.设，则(

)A．

B．

C.

D．参考答案：A5.（5分）根式（式中a＞0）的分数指数幂形式为（） A． B． C． D． 参考答案：C考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题： 函数的性质及应用．分析： 直接利用分数指数幂的运算法则求解即可．解答： ═=．故选：C．点评： 本题考查分数指数幂的运算法则的应用，基本知识的考查．．6.已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．过B点作BO⊥底面ACD，则点O是底面的中心，由勾股定理求出BO，由此能求出三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：∵边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，∴由题意可得：三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．如图所示：过B点作BO⊥底面ACD，垂足为O，则点O是底面的中心，AO==．在Rt△ABO中，由勾股定理得BO===．∴三棱锥D﹣ABC的体积V===．故选：D．7.设，且，则(A)

(B)(C)

(D)参考答案：A8.对任意非零实数，，若的运算规则如右图的程序框图所示，则的值是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C依框图，.选C.9.三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是（）A.2π B.4π C.8π D.16π参考答案：B是线段上一动点，连接，∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大．此时，，在直角△中，．三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥的外接球的半径为，∴三棱锥的外接球的表面积为．选B.

10.已知集合.求(CRB).参考答案：由得

即,解得:.即.由得，

解得.即

则=.则=

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.为了了解2100名学生早晨到校时间，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，则分段间隔为

．参考答案：21根据系统抽样的特征，得：从2100名学生中抽取100个学生，分段间隔为，故答案是21.

12.函数的定义域为

▲

.参考答案：13.观察下列数表：

根据以上排列规律，数表中第行中所有数的和为__________。参考答案：14.已知，，函数，若时成立，则实数的取值范围为______________.参考答案：略15.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足f()=f()=0，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6k，k∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是

．参考答案：①③【考点】正弦函数的图象．【分析】函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，可得ω（）=nπ，ω=n（n∈Z），即可得出结论．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，∴ω（）=nπ，∴ω=n（n∈Z），∴①ω=3正确；②ω≠6k，k∈N*，不正确；③φ可能等于，正确；④符合条件的ω有无数个，且均为整数，不正确．故答案为①③．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.若幂函数在（0，+∞）上是增函数，则m=

．参考答案：-1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数图象及其与指数的关系．【分析】利用幂函数的定义和单调性即可得出．【解答】解：∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，∴，解得m=﹣1．故答案为﹣1．17.三个数从小到大的顺序是：

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合，，求:（1）；（2）；（3）参考答案：(1)

2分(2)

3分(3)

3分略19.（14分）已知，，α，β∈（0，π），求α，β的值．参考答案：考点： 同角三角函数基本关系的运用．专题： 三角函数的求值．分析： 已知两式利用诱导公式化简，得到两个关系式，两式平方相加求出cosα的值，进而求出cosβ的值，即可确定出α，β的值．解答： 依题意得：sinα=sinβ①，cosα=cosβ②，将①②平方相加得：sin2α+3cos2α=1﹣cos2α+3cos2α=2，即cos2α=，∴cosα=±，cosβ=±，∵α，β∈（0，π），∴α=或，β=或．点评： 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．20.已知数列{an}满足：对于任意n∈N*且n≥2时，an+λan-1=2n+1，a1=4．（1）若λ=－，求证：{an－3n}为等比数列；（2）若λ=－1．①求数列{an}的通项公式；②是否存在k∈N*，使得为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）当时，且∴为常数

∴为等比数列

........3分（2）①当时，

∴…………∴∵

∴又满足上式，所以．

............8分②假设存在满足条件的，不妨设，∴

（*）∴

............10分∴

即由（1）得且

∴

∴若，代入（*），解得：（舍）

............13分∴即

∴∴

∴

∴∵

∴可取代入（*）检验，解得：∴存在满足题意．

............16分.21.（15分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．（1）若直线y=m与函数g（x）图象在时有两个公共点，其横坐标分别为x1，x2，求g（x1+x2）的值；（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，g（C）=0．若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值．参考答案：考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦定理．专题： 三角函数的图像与性质．分析： （1）由函数f（x）的图象可得周期，可得ω，代点（，0）结合φ的范围可得其值，再由图象变换可得g（x）图象，由对称性可得所求；（Ⅱ）由g（C）=0可得角C，由向量共线可得sinB﹣2sinA=0．由正余弦定理可得ab的方程组，解方程组可得．解答： （1）由函数f（x）的图象可得，解得ω=2，又，∴，∴，由图象变换，得，由函数图象的对称性，有；（Ⅱ）∵，∴又∵0＜C＜π，∴，∴，∴，∵共线，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理得，得b=2a，①∵c=3，由余弦定理得，②解方程组①②可得点评： 本题考查三角函数图象和性质，涉及图象的变换和正余弦定理，属中档题．22.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案：解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：=12，所以这时租出了88辆车………