第18题等差等比综合考查生成数列通项求和 2024年高中数学三轮复习之一题多解（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第18题等差等比综合考查，生成数列通项求和已知等差数列的公差为2，前n项和为，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．本题把等差等比两类数列交汇在一起，而是的生成数列，对于第（1）问，根据已知条件得出方程求出首项，即可得出等差数列的通项公式；对第（2）问，则可以有多种思路．思路一：归纳——猜想——用数学归纳法证明.（1）∵，，，由题意得，解得．∴．（2）解法一（归纳——猜想——证明）；；；；……于是猜想得出．下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，由上述推理可知猜想成立．（ⅱ）假设当（）时猜想成立，即成立，而，于是当时，．也就是说时猜想也成立．综合（ⅰ）和（ⅱ）可知对任意的，猜想都成立，即．（22-23高二下·辽宁大连·期末）1．记数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．(1)求的通项公式：(2)若，数列的前项和为，求证：．解题策略本题把等差等比两类数列交汇在一起，而是的生成数列，对于第（1）问，根据已知条件得出方程求出首项，即可得出等差数列的通项公式；对第（2）问，则可以有多种思路．思路二：对变形为两项和的形式，分n为奇、偶数两类求和，由正负相间消项而得.（1）∵，，，由题意得，解得．∴．（2）．当n为偶数时，．当n为奇数时，．∴（或）．（23-24高二下·云南·阶段练习）2．已知数列中，为的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．对于第（1）问，根据已知条件得出方程求出首项，即可得出等差数列的通项公式；对第（2）问，则可以有多种思路．思路三：对变形为两项差的形式，分n为奇、偶数两类求和，用裂项相消法.（1）∵，，，由题意得，解得．∴．（2）．当n为偶数时，．∴．当n为奇数时，．∴，综上得（或）．（23-24高二下·河南·期中）3．已知等差数列的公差为d（），前n项和为，且满足；，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求．（2024·江苏·模拟预测）4．已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，.(1)求数列和数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.（2024高三·全国·专题练习）5．已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.（2006·山东·高考真题）6．已知，点在函数的图像上，其中．(1)证明数列是等比数列；(2)设，求及数列的通项；(3)记，求数列数列的前项和，并证明．（2024·福建·模拟预测）7．已知各项均为正数的数列满足，且.(1)写出，，并求的通项公式；(2)记求.（23-24高三上·山东青岛·期末）8．在各项均为正数的数列中，，，．(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，记数列的前n项和为．（i）求；（ii）证明：．（2024·天津·一模）9．已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项.(1)求和的通项公式：(2)若，求数列的前项和；(3)设，求数列的前项和.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由等差数列的通项公和数列的通项与前项和的关系，结合等比数列的通项公式可得结果，（2）讨论时，不等式成立，证明时，，再利用错位相减法求和与不等式的性质，可证得结论.【详解】（1）当时，，因为是公差为2的等差数列，所以，当时，，所以，所以，所以，所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列，所以，所以，（2）证明：由（1）可得，当时，，当时，，可用数学归纳法证明：当时，，成立，假设时，成立，则当时，，所以当时，，所以，令，则，所以，所以，所以，即2．(1)(2)或【分析】（1）根据题意，推得，且，得到是等比数列，即可求得数列的通项公式；（2）方法一：由（1）求得，结合裂项相消法求和，即可求解；方法二：由（1）求得，分为奇数和为偶数，结合相消法求和，即可求解.【详解】（1）解：由数列中，为的前项和，，当时，，两式相减得，可得，当时，，则，所以是等比数列，首项为3，公比为3，所以，所以数列的通项公式为.（2）解：方法一：由（1）知，可得，所以.方法二：由，当为奇数时，当为偶数时，所以数列的前项和.3．(1)(2)【分析】（1）由等差数列前项和公式求得，结合等差数列、等比数列性质求得公差即可得解；（2）由裂项相消法即可求解.【详解】（1），得，即．由，，成等比数列，得，，即．所以，故．（2），∴.4．(1)，(2)【分析】（1）利用等差数列前项和的性质，结合，即可求得；（2）由，把表达式求出后，可直接求和.【详解】（1），设，则，又，所以，.（2）.5．(1)，；(2).【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果.（2）求出，代入求出，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此当为奇数时，，当为偶数时，，所以.6．(1)证明见解析(2)；；(3)，证明见解析【分析】（1）将代入，利用等比数列的定义求解即可；（2）由等比数列的通项公式可得，即，由此可得的通项，利用指数幂的运算和等比数列前项和公式求即可；（3）利用裂项相消求和即可.【详解】（1）将代入得，所以，因为，所以，两边取对数得，即，所以是公比为2的等比数列.（2）由（1）可得，所以（*），所以，由（*）式得.（3）因为，所以，又因为，所以，所以，由（2）得，，，所以，又，所以.7．(1)(2)【分析】（1）利用递推关系，可求，的值；结合题意，可用“累加法”求数列的通项公式.（2）可以把数列的前几项一一列举，然后求和，也可以用错位相减法求和.【详解】（1）解法一：因为，，所以，当时，，，所以.当时，，，所以.当时，，所以当时，也符合上式.综上，解法二：因为，，，所以，当时，，，所以.当时，，，所以.因为，所以，即.所以，即.又，所以（2）解法一：由（1）得，即记则①，②①-②，得，所以，故.解法二：由（1）得，即.记，则.故.8．(1)证明见解析，(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）由等比数列定义证明为等比数列，并写出通项公式，再用累乘法求出；（2）（i）运用对数运算进行分组求和；（ii）构造数列，其前n项和为，只需证明：，利用导数研究函数，，恒大于0得证.【详解】（1）由题意知，因此数列是以为首项，以4为公比的等比数列，于是，．．又适合上式，所以．（2）（i）因为，所以．（ii）因为数列的前n项和为，所以只需证明：，也就是，令，只需证明，设函数，，．所以，即成立，得证．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.9．(1)，(2)(3)【分析】（1）根据得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，设正项等比数列的公比为，由等比中项的性质求出，再由等差中项的性质求出，即可求出的通项；（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得；（3）由