第三节随机误差的正态分布

一、频率分布

在相同条件下对某样品中镍的质量分数（%）进行重复测定，得到90个测定值如下：

1.601.671.671.641.581.641.671.621.571.601.591.641.741.651.641.611.651.691.641.631.651.701.631.621.701.651.681.661.691.701.701.631.671.701.701.631.571.591.621.601.531.561.581.601.581.591.611.621.551.52

1.491.561.571.611.611.611.501.531.531.591.661.631.541.661.641.641.641.621.621.651.601.631.621.611.651.611.641.631.541.611.601.641.651.591.581.591.601.671.681.69第三节随机误差的正态分布11、算出极差R=1.74%－1.49%=0.25%，2、确定组数和组距组数：容量大时分为10-20组，容量小（n<50）分为5-7组，本例分为9组。组距：极差除以组数，

３、统计频数和计算频率

测定值落在每组内的个数，称为频数；数据出现在各组内的频率，即相对频数

相对频数＝频数／样本容量总数2分组（%）频数频率1.485-1.51520.0221.515-1.54560.0671.545-1.57560.0671.575-1.605170.1891.605-1.635220.2441.635-1.665200.2221.665-1.695100.1111.695-1.72560.0671.725-1.75510.011∑901.003平均值1.624

正态分布，又称高斯分布，它的数学表达式即正态分布函数式为：二、正态分布y——概率密度

——总体平均值，表示无限次测量数据的平均值。——总体标准偏差，表示无限次测量分散的程度。X——个别测量值x-

——随机误差5（μ相同，σ2>σ1）

图3-4正态分布曲线－N(

，

2）

曲线的形状取决于和

2，和

2确定了正态分布曲线

N(

，

2）也就定了。6

正态分布曲线关于直线x=μ呈钟形对称，反映随机误差具有以下特点：1.对称性绝对值大小相等的正负误差出现的概率相等，因此它们常可能部分或完全相互低消。2.单峰性峰形曲线最高点对应的横坐标x-μ值等于0，表明随机误差为0的测定值出现的概率密度最大。3.有界性一般认为，误差大于的测定值并非是由随机误差所引起的。也就是说，随机误差的分布具有有限的范围，其值大小是界的。

7定义：三、标准正态分布代入则：

u称为标准正态变量，上式就只有变量u的函数表达式8图3-5标准正态分布曲线

总体平均值为μ的任一正态分布均可化为μ=0，σ2=1的标准正态分布，以N（0，1）表示。9四、随机误差的区间概率

正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积，就等于概率密度函数从-∞至+∞的积分值。它表示来自同一总体的全部测定值或随机误差在上述区间出现概率的总和为100%，即为1。（3-16）欲求测定值或随机误差在某区间出现的概率P，可取不同的u值对式（3-16）积分求面积而得到。例如随机误差在±σ区间（u=±1），即测定值在μ±σ区间出现的概率是：10

按此法求出不同u值时的积分面积，制成相应的概率积分表可供直接查用。表3-1中列出的面积对应于图中的阴影部分。若区间为±|u|值,则应将所查得的值乘以2。例如：随机误差出现的区间测定值出现的区间概率u=±1x=μ±σ0.3413×2=0.682