第四十一课时

第四十一课时直线、平面垂直的判定及其性质1.认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。会做的一定要做对，该拿的分一定拿下1教材复习1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a

α.2.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.审题要细，决不能粗心大意24.三垂线定理：如果平面内一条直线垂直于平面的一条斜线在平面内的射影，那么这条直线垂直于斜线。3.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.运算要快，决不能拖泥带水5.三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线垂直于平面的一条斜线，那么这条直线垂直于斜线在平面内的射影。注意：文字语言、图形语言、符号语言三者之间的转化。37.二面角的平面角：一个平面垂直于二面角α-l-β的棱l，且与两个半平面的交线分别为OA，OB，O为垂足，则AOB是α-l-β的平面角.判断要准，决不能掉入陷阱6.二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.若棱为l，两个面分别为α，β的二面角记为：α-l-β.二面角的平面角的作法：①垂面法；②三垂线定理及其逆定理.49.两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.10.两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.变形要稳，决不能忙中出错8.两个平面垂直的定义：平面角等于900的二面角叫做直二面角；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.5基础自测C1.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线2.如右图，平面α平面β，A

α，Bβ，AB与两平面α、β所成的角分别为π/4和π/6，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A’、B’，若AB=12，则A’B’等于

()A.4B.6C.8D.9B答案要全，决不能丢三落四63.已知平面αβ，α∩β=l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为

_________.4.平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：①1；②2；③3；④4.以上结论正确的为

_________.(写出所有正确结论的编号)①③解题要活，决不能生搬硬套7题型一直线与平面垂直【例1】如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面正方形的中心，M为棱DD1的中点，试证：B1O平面MAC

.证法一：几何法证法二：向量法会做的一定要做对，该拿的分一定拿下8变式演练1.在四面体A-BCD中，已知AB

CD，AC

BD，试证：AD

BC.证法一(几何法)：如右图，过A点作AO平面BCD，垂足为O.连结BO、CO、DO.由AB

CD，AC

BD，根据三垂线定理的逆定理知：BO

CD，CO

BD，则O为∆BCD的垂心，根据三垂线定理知，AD

BC.点评：证法一非常典型地体现了三垂线定理和逆定理的应用；证法二利用向量将几何问题彻底代数化，此种方法也可证明三角形的三条高线交于一点。审题要细，决不能粗心大意9题型二平面与平面垂直【例2】如右图，αβ，α∩β=l，Aα，Bβ，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1.已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：(1)直线AB分别与平面α、β所成角的大小；(2)二面角A1-AB-B1的正弦值.【思维导图】求线面角和二面角A1-AB-B1的大小：(1)几何法：作→证→算；(2)向量法。450300运算要快，决不能拖泥带水1011变式演练2.如下图所示，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF

平面ACE.(1)求证：AE平面BCE；(2)求二面角B-AC-E的正弦值；(3)求点D到平面ACE的距离.判断要准，决不能掉入陷阱12题型三二面角变形要稳，决不能忙中出错【例3】如右图所示，在三棱锥S-ABC中，SA

底面ABC，AB

BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC.(1)求证：BD

平面SAC；(3)求二面角E-BD-C的大小.600【思维导图】求二面角的方法：(1)几何法：作→证→算；(2)向量法。13变式演练答案要全，决不能丢三落四3.如右图所示，在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，CF=，点E在线段AB上，且EF

PB.(1)求证：BP

平面CEF；(2)求二面角B-CE-F的正切值.14解题要活，决不能生搬硬套方法规律：1.①在解决线、面垂直问题的过程中，要注意线面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即线线垂直和线面垂直的互相转化.2.①对于二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算，同时要注意二面角的平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的.②利用向量证明线线垂直是非常有效的.15

②二面角的平面角的作法：(ⅰ)可用垂直于二面角棱的平面去截二面角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；(ⅱ)也可首先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理及其逆定理，作出二面角的平面角.解题要活，决不能生搬硬套

③对于直线与平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最重要的作图理论依据.16会做的一定要做对，该拿的分一定拿下剖析试题，追踪题源，预测趋势，强化训练【高考动向】面面垂直的性质定理是立体几何中作辅助线(平面的垂线)最重要的理论依据之一.对二面角及平面与平面垂直的考查是高考的重点和热点.求二面角的大小，可用几何法，也可用向量法.例4考查直线与平面成角问题，可利用平面的法线，将线面位置关系问题转化为线线位置关系.17【命题视角】【例4】已知平面α与β所成的二面角为800，P为α、β外一定点，过点P的一条直线与α、β所成的角都是300，则这样的直线有且仅有()A.1条B.2条C.3条D.4条审题要细，决不能粗心大意DB【例5】设直线l

平面α，过平面α外一点A与l，α都成300角的直线有且只有()A.1条B.2条C.3条D.4条18运算要快，决不能拖泥带水【随堂小练】1.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()A.若m//α，n//α，则m//nB.若α

γ，βγ，则α//β

C.若m//α，m//β，则α//β

D.若m