2020届中考数学复习专题：三角形(含答案)

2020届中考数学复习专题：三角形1．定义：如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为，那么称这个三角形为“神奇三角形”．（1）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．①当AC＝BC时，求证：△ABC是“神奇三角形”；②当AC≠BC时，且△ABC是“神奇三角形”，求tanA的值；（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的中线，若∠DCB＝45°，求证：△ABC是“神奇三角形”．2．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．3．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC，垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明理由．4．（1）发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．填空：①∠DCE的度数是；②线段CA、CE、CD之间的数量关系是．（2）探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．（3）应用如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长．5．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，0），C（2，7），连接AC，交y轴于D，且a＝，（）2＝5．（1）求点D的坐标．（2）如图2，y轴上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．（3）如图3，若Q（m，n）是x轴上方一点，且△QBC的面积为20，试说明：7m+3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由．6．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为，．（1）则A点的坐标为；点C的坐标为．D点的坐标为．（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．7．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0）、B（0，b）、且|a+2|+（b+2a）2＝0，点P为x轴上一动点，连接BP；（1）求点A、B的坐标；（2）如图，在第一象限内作BC⊥AB且BC＝AB，连接CP，当CP⊥BC时，作CD⊥BP于点D，求线段CD的长度；（3）在第一象限内作BQ⊥BP且BQ＝BP，连接PQ，设P（p，0），直接写出S△PCQ＝（用含p的式子表示）．8．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝时，求的值．9．如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？（3）用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？10．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB∇AC＝OA2﹣BO2．（1）在△ABC中，若∠ACB＝90°，AB∇AC＝81，求AC的值．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，求AB∇AC，BA∇BC的值．（3）如图3，在△ABC中，AO是BC边上的中线，S△ABC＝24，AC＝8，AB∇AC＝﹣64，求BC和AB的长．11．已知：等边△ABC中．（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求的值．12．如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动（1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，△AMN为等边三角形？（3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间．13．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比例相互唯一确定，因此，边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的关系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝．（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是．（3）如图②，已知∠C＝90°，sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．15．如图，点O为平面直角坐标系的原点，三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝m．顶点A，C的坐标分别为（1，0），（n，0），且|m﹣3|+（n﹣5）2＝0．（1）求三角形ABC的面积；（2）动点P从点C出发沿射线CA方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒，连接PB，请用含t的式子表示三角形ABP的面积；（3）在（2）的条件下，当三角形ABP的面积为时，直线BP与y轴相交于点D，求点D的坐标．16．已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．（1）若D为AB上一动点时（如图1），①求证：△ACD≌△BCE．②试求线段AD，BD，DE间满足的数量关系．（2）当点D在△ABC内部时（如图2），延长AD交BE于点F．①求证：AF⊥BE．②连结BD，当△BDE为等边三角形时，直接写出△DCE与△ABC的边长之比．17．如图，直角坐标系中，点A，B分别在x，y轴上，点B的坐标为（0，2），∠BAO＝30°．以AB为边在第一象限作等边△ABC，MN垂直平分OA，MA⊥AB．（1）求AB的长．（2）求证：MB＝OC．（3）如图2，连接MC交AB于点P．点P是否为MC的中点？请说明理由．18．在△ABC中，AB＝BC，∠A＝40°，BD⊥AC垂足为D．（1）填空：∠ABC＝°；（2）E是线段BD上的动点，连结EC，将线段EC绕点E按顺时针方向旋转80°，点C的对应点是点F，连接CF，得到△CEF．①如图1，若点F在直线BD上，AB＝a，AC＝b，求EB+EC的值．②连结AF，直线AF与直线BC是否平行，为什么？19．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（b，0），且a，b满足2a2+2ab+b2﹣8a+16＝0，点P为AB上一个动点（不与A，B）重合），连接OP．（1）直接写出a＝，b＝；（2）如图1，过点P作OP的垂线交过点A平行于x轴的直线于点C，若点，求点C的坐标；（3）如图2，以OP为斜边在OP右侧作等腰Rt△OPD，PD＝OD．连接BD，当点P从B向A运动过程中，△BOD的面积是否发生变化，请判断并说明理由．20．（1）如图①，小明同学作出△ABC两条角平分线AD，BE得到交点I，就指出若连接CI，则CI平分∠ACB，你觉得有道理吗？为什么？（2）如图②，Rt△ABC中，AC＝5，AC＝12，AB＝13，△ABC的角平分线CD上有一点I，设点I到边AB的距离为d．（d为正实数）小季、小何同学经过探究，有以下发现：小季发现：d的最大值为．小何发现：当d＝2时，连接AI，则AI平分∠BAC．请分别判断小季、小何的发现是否正确？并说明理由．

参考答案1．解：（1）①证明：如图，作AC边上的中线BM，设CM＝AM＝a，则BC＝AC＝2a，∵∠ACB＝90°，∴BM＝＝＝a，∴，∴△ABC是“神奇三角形”；②当AC边上的中线与AC边上的高的比为时，设BM＝a，BC＝2a，∵∠ACB＝90°，∴CM＝＝a，∴AC＝2a，∴AC＝BC，不合题意，舍去；同理，当BC边上的中线与BC边上的高的比为时，也不符合题意，舍去；当AB边上的中线与AB边上的高的比为时，当BC＞AC时，如图，作AB边上的中线CM，作AB边上的高线CD，设CM＝a，CD＝2a，则DM＝a，∵∠ACB＝90°，∴CM＝AB＝AM，∴AD＝（﹣1）a，∴tanA＝＝，当BC＜AC时，如图，作AB边上的中线CM，作AB边上的高线CD，同理可得，tanA＝．综合可得tanA的值为或．（2）证明：如图，作CH⊥AB于点H，AE⊥BC于点E，AE交CD于K，连接BK，∵AB＝AC，∴E是BC的中点，∵CD是AB边上的中线，∴点K是△ABC的重心，∴KC＝2DK，∵AE是BC的垂直平分线，∴KC＝KB，∴∠KBC＝∠KCB＝45°，∴∠CKB＝90°，即BK⊥CD，∴＝tan∠CDH＝＝2，∴，∴△ABC是“神奇三角形”．2．解：（1）∠BDP＝∠EPC，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠DPE＝60°，∴∠DPE＝∠B，∵∠DPC是△BDP的外角，∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，∴∠EPC＝∠BDP；（2）∵△PDE为正三角形，∴PD＝PE，在△BDP和△CPE中，，∴△BDP≌△CPE（AAS），∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∴BD＝CE，∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，∴△BDP∽△CPE，∴＝，即＝，整理得，BD＝，﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，∴BD的最大值为4．3．（1）解：∠ADE＝45°．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠ACM＝∠ACB，∴∠ACM＝∠ABC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ADE＝45°；（2）（1）中的结论成立证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝45°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝90°．即∠DAE＝90°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝45°．（3）△CGH为等腰直角三角形．理由如下：∵∠BCA＝∠ACE＝45°，∴∠GCH＝90°，又∵AH⊥BC，AG⊥CE，∴AG＝AH，∵∠ACG＝∠AGC＝45°，∴AG＝CG，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠HCA＝∠HAC＝45°，∴AH＝HC，∴CH＝CG，∴△CGH为等腰直角三角形．4．（1）发现解：①∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；故答案为：120°，②∵△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴CA＝BC＝CE+CD；故答案为：CA＝CE+CD．（2）探究∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°．∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，∵CB＝CD+DB＝CD+CE，∴CA＝CD+CE．（3）应用DA＝5或．作DE⊥AB于E，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝2，∵∠BDC＝90°，DB＝DC，∴DB＝DC＝，∠BCD＝∠CBD＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，∴∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴BE＝6﹣DE，∵BE2+DE2＝BD2，∴DE2+（6﹣DE）2＝26，∴DE＝1，DE＝5，∴AD＝或AD＝5．5．解：（1）∵a＝，（）2＝5，∴a＝﹣5，b＝5，∵A（a，0），B（b，0），∴A（﹣5，0），B（5，0），∴OA＝OB＝5．如图1，连接OC，设OD＝x，∵C（2，7），∴S△AOC＝×5×7＝17.5，∵S△AOC＝S△AOD+S△COD，∴5x•＝17.5，∴x＝5，∴点D的坐标为（0，5）；（2）如图2，∵A（﹣5，0），B（5，0），C（2，7），∴S△ABC＝×（5+5）×7＝35，∵点P在y轴上，∴设点P的坐标为（0，y），∵S△ACP＝S△ADP+S△CDP，D（0，5），∴5×|5﹣y|×+2×|5﹣y|×＝35，解得：y＝﹣5或15，∴点P的坐标为（0，﹣5）或（0，15）；（3）7m+3n是定值．∵点Q在x轴的上方，∴分两种情况考虑，如图3，当点Q在直线BC的左侧时，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，∵S△QBC＝S△QHC+S△HBC﹣S△QHB，且S△QBC＝20，∴，∴7m+3n＝﹣5．如图4，当点Q在直线BC的右侧时，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，∵S△QBC＝S△QHC+S△HBC﹣S△QHB，且S△QBC＝20，∴＝20，∴7m+3n＝75，综上所述，7m+3n的值为﹣5或75．6．解：（1）∵．∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，解得a＝4，b＝2，∴A（0，4），C（2，0）；∴x＝＝1，y＝＝2，∴D（1，2）．故答案为（0，4），（2，0），（1，2）．（2）如图1中，由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，即CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，∴S△DOP＝OP•yD＝（2﹣t）×2＝2﹣t，S△DOQ＝OQ•xD＝×2t×1＝t，∵S△ODP＝S△ODQ，∴2﹣t＝t，∴t＝1；（3）的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，∵∠2+∠3＝90°，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，∴∠GOC+∠ACO＝180°，∴OG∥AC，∴∠1＝∠CAO，∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，∴＝，＝，＝2．7．解：（1）∵|a+2|+（b+2a）2＝0，∴a+2＝0，b+2a＝0，解得a＝﹣2，b＝4，∴A（﹣2，0），B（0，4）；（2）如图1所示，过C作CE⊥OB于E，与PB交于F，∵BC⊥AB，∴∠ABO+∠EBC＝90°，在Rt△BCE中，∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ABO＝∠BCE，在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO＝2，又∵OB＝4，∴E为OB的中点，∵EC∥OP，∴EF为△BOP的中位线，则F为BP的中点，在Rt△BCP中，CF为斜边上的中线，∴CF＝PB＝BF，∴∠BCE＝∠CBD＝∠ABO，在△AOB和△CDB中，∴△AOB≌△CDB（AAS），∴CD＝AO＝2；（3）如图2所示，过B作BG⊥CQ于点G，延长QC与x轴交于H，∵∠ABP+∠PBC＝90°，∠PBC+CBQ＝90°，∴∠ABP＝∠CBQ，在△ABP与△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴∠BPO＝∠BQG，CQ＝AP＝2+p，在△BOP和△BGQ中，，∴△BOP≌△BGQ（AAS），∴∠OBP＝∠GBQ，BG＝BO＝4，又∵∠GBQ+∠PBG＝90°，∴∠OBP+∠PBG＝90°，即∠OBG＝90°，在四边形OBGH中，∠OBG＝∠BOG＝∠BGH＝90°，∴∠OHG＝90°，∴PH是△PCQ中CQ边上的高，PH＝OH﹣OP＝4﹣p，∴S△PCQ＝•（2+p）（4﹣p）＝﹣+p+4．故答案为：．8．（1）证明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△ABC和△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．∵∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．∴∠A＝∠ECB；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴，∴，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，设DM＝MC＝a，∴a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN＝DC＝2a，∵tan∠DEC＝，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴，∵CE∥DN，∴△CEF∽△DNF，∴．9．解：（1）连接PQ，设经过ts后，P、Q两点的距离为5cm，ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，代入数据（7﹣2t）2+（5t）2＝（5）2；解得t＝1或t＝﹣（不合题意舍去）；（2）设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，S△PCQ＝×PC×CQ＝×（7﹣2t）×5t＝15解得t1＝2，t2＝1.5，经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2．（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，S△PCQ＝×PC×CQ＝×（7﹣2t）×5t＝×（﹣2t2+7t）．＝﹣5．∴当t＝s时，△PCQ的面积最大，最大值为cm2．10．解：（1）如图1，AO是BC边上的中线，∵∠ACB＝90°，∴AO2﹣OC2＝AC2，∵AB∇AC＝81，∴AO2﹣OC2＝81，∴AC2＝81，∴AC＝9；（2）①如图2，取BC的中点O，连接AO，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＝30°，在Rt△AOB中，∴＝＝6，∴AB∇AC＝AO2﹣BO2＝36﹣108＝﹣72；②如图3，取AC的中点D，连接BD，∴AC＝6，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，∴∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠ABE＝30°，∵AB＝12，∴AE＝6，∴BE＝＝＝6．∴DE＝AD+AE＝12，∴＝＝6，∴BA∇BC＝BD2﹣CD2＝＝216；（3）作BD⊥CD，如图4，∵S△ABC＝24，AC＝8，∴＝6，∵AB∇AC＝﹣64，AO是BC边上的中线，∴AO2﹣OC2＝﹣64，∴OC2﹣AO2＝64，又∵AC2＝82＝64，∴OC2﹣AO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴OA＝2×＝3，∴＝＝．∴，在Rt△BCD中，＝＝16，∴AD＝CD﹣AC＝16﹣8，∴＝＝10．11．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，∵点M是BC的中点，∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，∵∠AMN＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，AB＝2BM，设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，∴AN＝3x，∴；（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，∴△AMG为等边三角形，∴AM＝AG，∴BM＝CG，∵∠AGM＝∠ABC＝60°，∴∠MGC＝∠NBM＝120°，∵MG∥BC，∴∠GMC＝∠MCB，∵∠MNB＝∠MCB，∴∠GMC＝∠MNB，∴△MGC≌△NBM（AAS），∴MG＝BN，∵△AMG为等边三角形，∴AM＝MG，∴AM＝BN；（3）如图3，过点P作PM∥BC交AB于点M，∴△AMP为等边三角形，∴AP＝MP，∠AMP＝60°，∵P为AC的中点，∴AP＝PC，∴MP＝PC，∵∠ACB＝60°，∴∠EMP＝∠PCF＝120°，∵∠AEP＝∠PFC，∴△PCF≌△PME（AAS），∴CF＝ME，∴BF﹣BE＝BC+CF﹣ME+MB，又∵P为AC的中点，MP∥BC，∴MB＝，∴BF﹣BE＝BC+BC＝，∴．12．解：（1）设运动t秒，M、N两点重合，根据题意得：2t﹣t＝15，∴t＝15，答：点M，N运动15秒后，M、N两点重合；（2）如图1，设点M、N运动x秒后，△AMN为等边三角形，∴AN＝AM，由运动知，AN＝15﹣2x，AM＝x，∴15﹣2x＝x，解得：x＝5，∴点M、N运动5秒后，△AMN是等边三角形；（3）假设存在，如图2，设M、N运动y秒后，得到以MN为底边的等腰三角形AMN，∴AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠B＝60°，∴△ACN≌△ABM（AAS），∴CN＝BM，∴CM＝BN，由运动知，CM＝y﹣15，BN＝15×3﹣2y，∴y﹣15＝15×3﹣2y，∴y＝20，故点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为20秒．13．解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°＝＝1．故答案为：1．（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为：0＜sadA＜2．（3）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，如图．∵在Rt△ADE中，＝sinA＝，设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x．∴CE＝x．∴在Rt△CDE中，CD＝＝x．∴sadA＝＝＝．14．解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴（3x）2+16＝（5x）2，∴x＝1，即AC＝3，∵BE⊥AD，∴∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠FBC，∴tan∠FBC＝tan∠DAC＝＝；（2）∵AG∥BD，∴∠AGF＝∠CBF，∴tan∠AGF＝tan∠CBF，∴，，∴，∴．∴＝．∵∠EAF＝∠CBF，∴，∴，∴S△DAF＝＝；（3）①当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AG＝8，BC＝4，AG∥BD，∴，∴AF＝2CF，∵AC＝3，∴AF＝2，CF＝1，∴，∴，设AE＝x，GE＝4x，∴x2+16x2＝82，解得x＝，即AE＝．同理tan∠DAC＝tan∠CBF，∴，∴DC＝，∴AD＝＝＝．∴＝．②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴，∴，同理，∴，∴．∴DE＝AE﹣AD＝．综合以上可得DE的长为或．15．解：（1）∵|m﹣3|+（n﹣5）2＝0．∴|m﹣3|＝0，（n﹣5）2＝0．∴m＝3，n＝5，∴B（1，3），C（5，0），∴AB＝3，AC＝4，∴三角形ABC的面积＝；（2）①如图1，当点P在线段AC上时，PC＝t，AP＝4﹣t，三角形ABP的面积为＝＝6﹣．②如图2，当点P在线段AC的延长线上时，PC＝t，AP＝t﹣4，三角形ABP的面积为3＝．（3）①当点P在线段AC上时，6﹣．解得t＝﹣1（舍去）．②如图3，当点P在线段AC的延长线上时，．解得t＝9．∴OP＝4，PA＝5，∵∠BAC＝90°＝∠DOA，∴OD∥AB，∴．解得OD＝．∵点D在y轴上且在原点O的上方，∴点D的坐标为（0，）．16．（1）①证明：如图1，∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．∴AC＝BC，CD＝CE，∠A＝∠ABC＝45°，∠ACB﹣∠DCB＝∠ECD﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．②解：∵△ACD≌△BCE．∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，∴∠DBE＝90°，∴BD2+BE2＝DE2，即BD2+AD2＝DE2，（2）①证明：如图2，∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．∴由（1）易知△ACD≌△BCE．∴∠DAC＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAF＝∠ABC+∠CBE+∠BAF＝∠ABC+∠BAF+∠DAC＝∠ABC+∠BAC＝90°．∴∠AFB＝90°，即AF⊥BE．②如图3，∵△BDE为等边三角形，DF⊥BE，∴∠DEF＝60°，设EF＝BF＝a，则DE＝2a，∴a，∵BD＝BE，DC＝CE，∴BC是DE的垂直平分线，∴NE＝a，BN＝a，∴BC＝．∴．即△DCE与△ABC的边长之比为．17．（1）解：∵B（0，2），∴OB＝2，在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝4；（2）证明：，∵AM⊥AB，∴∠BAM＝90°，∴∠MAN＝90°﹣∠BAO＝60°，∵MN垂直平分OA，∴∠ANM＝90°，∴∠AMN＝30°，∴MA＝2AN＝OA，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠BAC＝60°，∴∠OAC＝90°＝∠MAB，∴△MAB≌△OAC（SAS），∴MB＝OC；（3）解：P是MC的中点．理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，∴∠AHC＝90°＝∠HAM，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠BCH＝∠ACH＝30°＝∠BAO，∴△BCH≌△BAO（AAS），∴OA＝CH，由（2）知，AM＝OA，∴AM＝CH，∵∠CPH＝∠MPA，∴△CHP≌△MAP（AAS），∴CP＝MP，即点P为MC的中点．18．解：（1）∵AB＝BC，∴∠A＝∠BCA＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠BCA＝180°﹣40°﹣40°＝100°故答案为：100．（2）①在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∠ABF＝50°，∵EC＝EF，∠CEF＝80°，点F在