2021春《19.1.1-第1课时-变量与函数》教学设计

人教版八下19.1.1变量与函数（第1课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用从本章开始，通过引入常量和变量的概念，讨论一个量随另一个量的变化而变化的现象，帮助学生建立研究运动变化规律的基本模型：函数．能指出变化过程中的常量和变量，是学习函数的起点．为了让学生适应由常量数学进入到变量数学的阶段跨越，本节通过典型实例的分析，从中抽象出两个重要的概念（常量和变量），初步渗透变化、对应的思想，为进一步学习函数概念奠定基础．概念解析本节课的主要概念是常量和变量．在一个变化过程中，称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．变量和常量都是针对某个变化过程而言的．思想方法本节课将从四个实际问题中抽象出变量与常量的概念，体现认识事物的一般方法：从具体到抽象．数学抽象是本节课主要的素养，在抽象出两个概念的过程中，注重渗透变化与对应的思想．知识类型常量与变量是概念性知识．由知识类型决定，概念性知识需要通过丰富的例子，从归纳共性中获得数学抽象．教学重点常量、变量的概念教学目标解析教学目标1.能指出简单实际问题中的常量、变量．2.能说明简单实际问题中常量和变量的意义和它们之间的关系．3.初步体会变量间的变化和对应关系．目标解析达成目标1的标志是：能通过简单实际问题的分析，抽象出常量和变量的概念，并能识别简单实际问题中的常量和变量．达成目标2的标志是：在一个运动变化过程中，能在识别常量和变量的基础上，说明它们的具体意义以及它们之间的关系（如匀速运动中，速度v是常量，时间t、距离s是变量，距离随时间的变化而变化，有确定的关系s＝vt）．达成目标3的标志是：在对实际问题的分析中，体验一个过程中有些量不断变化，有些量保持不变，并存在某种对应关系，常量往往是联系变量的纽带．教学问题诊断分析具备的基础学生对一个变化过程中所涉及的量的变与不变都有生活体验，对它们之间的相互关系也有认知基础．例如小学学习的正比例关系、反比例关系，初中列代数式中学习的知识等，都是理解本节课中两个概念的基础．与本课目标的差距分析能准确指出简单实际问题中的常量和变量，理解它们在问题中的意义，需要学生有一定的抽象归纳能力．只有精准掌握常量和变量的概念才能正确区分，才能理解实际意义，才能明确它们之间的关系．存在的问题对变化过程的分析，用数学语言归纳共性、抽象概念，再用于解决问题，对初学者来说会存在困难，特别是对“在一个变化过程中”的理解；变量是描述动态的概念，常量是描述静态的概念，但它们之间是相互制约、相互转化的，例如匀速运动中，时间、距离都是变量，但它们的比是常量．对这种变与不变、相互联系、相互转化的理解，对初学者来说困难很大．应对策略通过不同类型的实际问题的分析，从中归纳共性，抽象出常量与变量的概念；需要在“一个变化过程中”用概念来确定谁是常量，谁是变量．教学时一定要把例子讲好，让学生有充分的“悟”的时间，并要让学生表达．教学难点变量和常量概念的获得和应用教学支持条件分析为了动态显示变化过程，可以利用GeoGebra、Excel中的图表功能进行填空、赋值等体验常量、变量以及一个量随另一个量的变化而变化，并从中抽象变化规律．教学过程设计课前检测1.汽车以每小时a

km的速度行驶，行驶b小时后，共行驶了__________km．2.已知苹果单价为m元，买n斤苹果共需花费__________元．3.已知长方形的周长为l

cm，若长为x

cm，则宽为__________cm．设计意图：复习用代数式表示常见简单问题中的数量关系，为本课中4个实例中数量关系的确定做好知识上的准备．问题引入问题1：在我们身边“万物皆变”，例如：行星在宇宙中的位置随时间而变化；气温随海拔而变化；树高随树龄而变化……在你周围的事物中，你还能再举出其中一个量随另一个量的变化而变化的例子吗？师生互动设计：通过教师介绍，图片播放（星空图；雪上草甸图等），让学生感知周边有很多东西（量）是随着另一个东西（量）的变化而变化的．通过举例让学生进一步加深这种印象，体会到有必要对这样的现象进行进一步的研究．设计意图：(1)为了使学生体验一个变化过程中的常量、变量，这里聚焦了两个关键：“量”在“过程中”；突出“一个量随另一个量的变化”的现象．(2)不急于从数量关系上确定量与量之间的关系，通过具体而熟悉的例子体会这种关系即可．合作探究巩固练习和这些问题一样，一个量随着另一个量变化的现象在现实中大量存在．我们继续看：问题2：（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的路程为s

km，行驶时间为t

h．请你取几个t的值，并算出相应的s值：①

在汽车行驶过程中，哪些量发生变化？哪些量始终不变？②

填写表格，并思考：s的值随t的值的变化而变化吗？③

观察表格，显然s的值会随着t的值的变化而变化．你认为s和t的值有怎样的对应关系？（2）电影票的售价10元/张．第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元．①

在计算票房收入的过程中，哪些量发生变化？哪些量始终不变？②

请你算出相应的y值，并填入对应的空格中：思考：你认为y和x的值有怎样的对应关系？③

观察所填数值，显然票房收入y的值会随着票数x的值的变化而变化．请你说说y和x有怎样的对应关系？（3）你见过水中涟漪吗？图中的圆形水波慢慢扩大，在这一过程中，圆的半径为r

cm，面积为S

cm2．当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？（4）用10m长的绳子围成一个矩形．当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？师生互动设计：题（1）和（2）通过师生合作，题（3）和（4）通过小组讨论或自主学习完成．设计意图：题（1）和（2）通过师生合作，获得研究的一般方法：由经验聚焦变化过程中的常量和变量，通过计算体验在这个过程中一个变量是如何随另一个变量变化，初步体会两个变量之间的单值对应特征．题（3）和（4）通过小组讨论或自主学习，获得进一步的体验，巩固研究方法．问题3：你能对题（1）—（4）中出现的不发生变化的量和发生变化的量下个定义吗？师生互动设计：引导学生归纳常量与变量的定义．归纳得出：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．设计意图：通过下定义的方式小结第一环节，获得从经验到理性的提升．巩固练习综合运用【例题1】一家快递公司的收费标准如图1．用t表示邮件的质量，p表示每件快递费，n表示快递邮件的件数．图1①填写下表．②当1＜t≤10时，邮寄n件快递的费用记为

w，这时哪些量是常量？哪些是变量？③当11＜t≤12时，p是否为常量？当11≤t≤12时呢？谈谈你对常量和变量的理解？师生互动设计：针对学生的回答，先由其它同学补充完善，最后教师根据学生的回答，总结常量和变量的适用范围，进一步理解“在一个过程中”的含义．通过学生的回答归纳得到：在某一过程中，一个t值对应一个p值．设计意图：加深理解“常量和变量存在于一个过程中”，是用来描述“一个过程中”某些量的特征的概念．初步体会一个变量随另一个变量变化的对应规律．【测评3】某快递公司收费标准的部分数据如图所示（其中t表示邮件的质量，P表示每件快递费）．①当2.5kg＜t≤3kg时，P是_______．当2kg≤t≤2.5kg时，P是________（填“常量”或“变量”）．②若t＝2.7kg，p＝_______元；若p＝37元，则t的取值范围是_______．设计意图：检测目标(1—3)是否达成．若测评不合格，则回至变量与常量概念的教学环节．归纳总结1．你能总结一下本节课学习的内容吗？2．常量，变量的研究思路是怎样的？3．为何“在一个过程中”定义常量和变量？你有什么体会？4．本节课研究的所有问题中，两个变量之间有什么关系？常量和两个变量之间又有什么关系？设计意图：总结归纳，形成知识框图、研究方法路线图．目标检测设计一、选择题1．在圆的周长公式C=2πR中，是变量的是（）A．CB．RC．π和RD．C和R2．一辆汽车以50km/h的速度行驶，记行驶的路程为s（km），行驶的时间为t（h），其中变量是（）A．速度与路程B．速度与时间C．路程与时间D．三者均为变量3．要画一个面积为30cm2的长方形，其长为x

cm，宽为y

cm，在这一变化过程中，（）A．常量为30，变量为x，yB．常量为30、y，变量为xC．常量为30、x，变量为yD．常量为x、y，变量为304．某市居民用电价格是0.5元/千瓦时，记居民生活用电为x（千瓦时），付电费为y（元），则（）A．常量为0.5、x，变量为yB．常量为0.5、y，变量为xC．常量为0.5，变量为x、yD．常量为x、y，变量为0.55．设路程s，速度v，时间t，则（）A．当s一定时，v是常量，