2021春《19.1.1-第2课时-变量与函数》教学设计

人教版八下19.1.1变量与函数（第2课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用函数是描述运动变化规律的重要数学模型，刻画了变化过程中变量之间的对应关系．本节通过典型实例的分析，从中抽象出函数的概念，再次渗透变化、对应的思想．函数概念是中学数学的核心概念，是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础．概念解析本节课的主要概念是函数．在一个变化过程中，如果两个变量x与y具有单值对应关系，即对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则称x为自变量，y为x的函数，也称x和y具有函数关系．“单值对应”是函数的本质属性．思想方法本节课的主要内容是函数概念的学习，从三类实际问题中抽象出函数的概念，体现认识事物的一般方法：从具体到抽象．数学抽象是数学的核心素养，在抽象出函数概念的过程中，注重渗透变化与对应的思想．知识类型函数属于概念性知识．由知识类型决定，概念性知识需要通过丰富的例子，从归纳共性中获得数学抽象。教学重点函数的概念教学目标解析教学目标1.知道函数的概念．2.会判断具体事例中两个变量间的关系是否为函数关系．3.能举出函数的实例，并指出自变量与因变量的函数．4.知道函数与函数值的区别．5.体会变化与对应的思想．目标解析达成目标1的标志是：能通过简单实际问题的分析，归纳共性，抽象出函数的概念．达成目标2的标志是：能在具体实例（包括解析式、表格、图象表示的情境）中辨别变量之间的关系是否是函数关系．达成目标3的标志是：能从实际问题和数学内部给出函数的实例，并指出自变量与自变量的函数；了解自变量选取的任意性，以及因变量随自变量的改变而改变．达成目标4的标志是：知道函数是变量，函数值是变量所取的某个具体数值，是常数；在已知自变量取值及其对应函数值的情况下，识别并阐述当自变量取某一确定值时的函数值．达成目标5的标志是：在函数概念的形成过程中，初步体会变量之间的联系，感受变化与对应的思想．教学问题诊断分析具备的基础学生在生活中具有对两个量之间存在依存关系的体验．在本课之前，学生学习了常量与变量的概念，能在一个运动变化的过程中识别常量与变量，并初步经历了从具体到抽象，特殊到一般再到特殊的研究过程．与本课目标的差距分析从简单实际问题中获得函数的概念，需要学生有一定的抽象归纳能力，只有准确理解两个变量间的单值对应关系，才能充分理解函数的概念，才能判断具体事例中两个变量间的关系是否为函数关系．存在的问题对学生而言，函数概念比较抽象，初次接触可能会遇到较大困难．主要在于难以概括出“一个变量的值的确定导致另一个变量取值的唯一确定”这一函数概念的核心；当一个变量的值确定时，另一个变量怎样才算“唯一确定”？学生可能会误认为函数关系中的“唯一确定”仅指通过公式求出的唯一值，对不能用公式求出值的单值对应关系难以理解．应对策略借助实际问题情境，引导学生由具体到抽象地认识函数．在教学中让学生经历分析多个问题（涵盖列表、解析式、图象三种形式）分析，让学生充分地表达和感悟，引导归纳函数概念；得到概念后，再用恰当的例子（正反两个方面）对概念进行辨析，加深理解．教学难点函数概念的抽象与理解教学支持条件分析为了观察和研究两个变量之间的关系，可以利用GeoGebra、Excel中的图表功能进行进行赋值、计算，利用动画功能对图象进行分析等手段形象地揭示单值对应的关系．教学过程设计课前检测1.

一件物品单价为6元/个，记买了x个此物品，需付款y元，在买不同数量的物品的过程中，变量是__________，常量是__________，变量__________随变量__________的变化而变化．2.

对圆的周长公式的说法正确的是（）A．，r是变量，2是常量B．c，r是变量，，2是常量C．r是变量，2，，c是常量D．c是变量，2，，r是常量3.

如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么S，p，a中是变量的是（）A．S和pB．S和aC．p和aD．S，p，a4.

弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：则y关于x的关系式为__________．设计意图：本组课前检测题主要检查常量、变量的概念，第4题检测两个变量之间的关系，为函数概念的学习做好知识上的准备．情境引入引言：通过前面的学习，我们体会到万物皆变，在运动变化过程中往往蕴含着量的变化，研究变量之间的关系是把握变化规律的关键．设计意图：通过引言教学，复习上一节课所学内容，提出本节课需要研究的问题，引起合理的选择性注意，起先行组织者作用．合作探究巩固练习问题1：下面各题的变化过程中，各有几个变量？其中一个变量的变化怎样影响另一变量的变化？（1）汽车以60

km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t

h，行驶的路程为s

km．（2）每张电影票的售价10元，某场电影售出x张票，票房收入为y元．（3）圆形水波慢慢扩大，在这一过程中，圆的半径为r

cm，面积为S

cm2．（4）用10m长的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为x

m，它的邻边长为y

m．师生互动设计：可以仿照前一节课的取值，求值的方式分析理解两个变量之间关系．师生一起分析变化过程（1），学生合作分析过程（2）—（4）．引导学生得到具体结论，如变化过程（1）有两个变量t，s，当t取定一个值时，s有唯一确定的值与之对应．设计意图：通过对问题(1)—(4)的分析，为发现这些对应关系的共同特征，实现函数概念的第一次概括提供归纳的样例．问题2：能用自己的语言说说这些问题中变量之间关系的共同特点吗？试一试！师生互动设计：教师引导学生归纳，变化过程中有两个变量，当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应．如由s=60t，当t=1，2，3时能分别求出唯一的s的值．设计意图：对能用解析式表示的变量之间对应关系的共同特征进行初步概括．问题3：下面是我国体育代表团在第23至30届夏季奥运会上获得的金牌统计表．把届数和金牌数分别记作两个变量x和y，对于表中的每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数吗？师生互动设计：引导学生说出届数与金牌数的对应关系，体会用表格也可以由一个变量的值确定出另一个相关变量的值．设计意图：让学生感受到当一个变量取定一个值时，可以通过查表唯一确定出另一个变量的值，突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一非本质属性．问题4：图1是北京某天的气温变化图，你能说出14:00，18:00，20:00，4:00的气温吗？图1师生互动设计：教师在网上打开天气预报页面，引导学生阅读气温变化图，体会由气温图可以根据时间确定气温数值，体会这也是变量之间的单值对应关系．追问：虽然20:00，4:00时的温度具体为多少无法确定，但是这两个时刻的温度是不是确定的？一天中，当时间确定时，气温的数值也是唯一确定的吗？设计意图：让学生体会到，当一个变量取定一个值时，通过图象也可以唯一确定另一个变量的值，突出函数的本质属性，剥离“用公式表示变量关系”这一非本质属性．问题5：上述实际问题中两个变量之间的关系，当一个变量取定一个值时，既有通过公式确定另一个变量唯一的值，又有通过对应表格确定另一变量唯一的值，还有通过图象确定另一个变量唯一的值．综合这些现象，你能归纳出上面实例中变量之间关系的共同特点吗？请大家相互讨论．师生互动设计：学生分组讨论，归纳出如下结论：在一个变化过程中，有两个变量，当一个变量取定一个值时，另一变量有唯一确定值与之对应．教师与学生一起概括出函数概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．追问：请结合问题（1）（2）说说函数定义中“变化”、“对应”、“唯一确定”的含义．师生互动设计：学生交流，教师引导学生进行点评，并顺势带出函数值的概念：设y是x的函数，如果当x=a时，对应的y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．设计意图：在前面分步概括的基础上，概括出三类不同表现形式的变量对应关系的共同特征，形成函数概念．问题6：你如何理解函数值？能说说函数与函数值的区别吗？师生互动设计：结合问题1、3、4让学生说出几个具体的函数值，然后说说函数与函数值的区别，教师进行补充完善．设计意图：通过问题6，让学生感知函数值是变量所取的某个具体数值，是常数；在已知自变量取值及其对应函数值的情况下，识别并阐述当自变量取某一确定值时的函数值．巩固练习【测评1】1．下表是我国大陆地区若干年份的人口统计表，表中的人口数y是年份x的函数吗？2．下列问题中哪些是自变量？哪些是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子：（1）每分钟一水池注水0.1m3，注水量y（单位：m3）随注水时间x（单位：min）的．变化而变化．（2）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化．（3）某汽车油箱中有40L油，它在高速公路上行驶，耗油量为0.07L/km，汽车行驶的里程为x

km，油箱中剩下的汽油量为y

L．设计意图：检测目标(2)是否达成．若测评不合格，则讲解测评1，完成后再测(测评2)．【测评2】1．在表中，记录了一个同学10次练习立定跳远的成绩：y是x的函数吗？为什么？2．下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系：（1）在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度．（2）在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长与半径．（3）三角形的面积一定，它的一边和这边上的高．（4）正方形的面积和梯形的面积．（5）水管中水流的速度和水管的长度．（6）圆的面积和它的周长．（7）底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高．综合应用【例题1】P是数轴上的一个动点，它所表示的实数是m，P点到坐标原点的距离为s．（1）s是m的函数吗？为什么？

（2）m是s的函数吗？为什么？【例题2】下列曲线中不能表示y是x的函数的是（），反过来能表示x是y的函数的是（）【例题3】请举出一个函数的实例．师生互动设计：学生独立完成，教师个别指导，并引导学生进行自我评价和相互评价．设计意图：通过正反两个方面的例子，进行函数概念的进一步辨析，深化对函数概念的理解．【测评3】老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别列举了如下4个x、y之间的关系：（1）判断每个例子是否正确，并说明理由；（2）指出所有正确例子中x=2时的函数值．设计意图：检测学生对于函数概念掌握的情况．若测评不合格，则回至函数概念的教学环节．归纳总结1．你能总结一下本节课研究的内容吗？2．函数的研究思路是怎样的？设计意图：总结归纳，形成知识框图、研究方法路线图．目标检测设计一、选择题1．下列两个变量之间，不存在函数关系的是（）A．一天的气温与时间之间的关系B．一个正数的平方根与这个正数之间的关系C．圆的面积与圆的周长之间的关系D．速度一定，汽车行驶的路程与行驶时间之间的关系2．下列变量之间的关系中具有函数关系的有（）①等腰三角形底边上的高为5时，该三角形的面积与底边；②长方形面积一定，长与宽之间的关系；③圆的面积与半径；④（x≥）中的y与x．A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列曲线中能表