易错压轴01 二次函数（十大易错压轴题型、举一反三、易错题通关）（原卷版）

2/2易错压轴01二次函数易错压轴一：二次函数的图象与性质例1．已知二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（

）A．2 B． C．3 D．例2．已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为；若于点，则点到点的最大距离为．练习1．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（

）A．； B．；C．当时，； D．不论取何值，练习2．若关于x的方程的一个实数根，另一个实数根，则关于x的二次函数图象的顶点到x轴距离h的取值范围是．练习3．已知二次函数、b是常数，(1)若在该二次函数的图象上，当时，试判断代数式的正负性；(2)已知对于任意的常数a、，二次函数的图象始终过定点P，求证：一次函数图象上所有的点都高于点1．已知二次函数图象上的两点和，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知抛物线，当时，自变量的取值范围是或，若点在对称轴左侧的抛物线上，则的取值范围是．3．已知二次函数．(1)将写成的形式，并写出它的顶点坐标；(2)当时，直接写出函数值y的取值范围；(3)该二次函数的图象与直线有两个交点，，若，直接写出n的取值范围．易错压轴二：二次函数的图象与系数的关系例1．对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是（

）A． B． C． D．例2．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中结论正确的是．练习1．如图，抛物线的图象与x轴交于，，其中．有下列五个结论：①；②；③；④；⑤若m，为关于x的一元二次方程的两个根，则．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1练习2．如图，二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论∶①；②；③；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的是．

(只填写序号)练习3．已知二次函数，图象经过点，，．(1)当时．①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大；(2)若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：．1．已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（

）A．5 B．4 C．3 D．22．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中∶①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为．3．在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）．(1)若时，图象经过点，求二次函数的表达式．(2)写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．(3)已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：．易错压轴三：根据二次函数的对称性求函数值例1．如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是的中点，则的值是（

）A． B．2 C． D．3例2．已知二次函数的图像过点和．（1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是．（2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是．练习1．设二次函数（k，c为实数）的图象过点，，三点，且，，，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则练习2．已知和时，多项式的值相等，则当时，多项式的值为.练习3．自变量的函数值我们通常记作，表示自变量时，函数的函数值，已知函数，其中为常数．(1)若，求的值；(2)若存在唯一一个自变量的值，使得另一个函数，，试求满足条件的的值；(3)若存在实数且，使得，试求实数的取值范围．1．设函数对一切实数不均满足，且方程恰好有6个不同的实根，则这6个实根的和为（

）A．10 B．12 C．18 D．302．已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是（填或），若此时，则的取值范围是．3．设二次函数（m为常数）的图象为f．【特例感悟】（1）当，时，二次函数（m为常数）的最小值是______、最大值是______；【类比探索】（2）当直线与图象f在第一象限内交A、B两点（点A在点B的左边），A点横坐标a，点B的横坐标b，，求在范围内二次函数（m为常数）的最大值与最小值的差；【纵深拓展】（3）①不论m为何实数时，图象f一定会经过一个定点，求出这个定点坐标；②当时，二次函数（m为常数）的最大值为9，那么图象f的对称轴与x轴的交点横坐标会大于0小于2吗？试说明你的理由，并指出满足条件的对称轴与定点之间的距离．易错压轴四：二次函数的最值问题例1．已知：，，，则下列说法中正确的是（

）A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值例2．已知二次函数（，为常数且），当时，随的增大而增大，则的最大值为．练习1．4．已知二次函数，当时，则（

）A．若时，函数有最小值 B．若时，函数有最小值C．若时，函数有最小值 D．若时，函数有最小值练习2．已知抛物线：，把绕点旋转，得到抛物线，则的解析式为；在和构成的封闭区域内作直线轴，分别交和与点M，N，则的最大值为．练习3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．(1)求此二次函数的解析式；(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；(3)点为此函数图象上任意一点，其僙坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．①求的取值范围；②当时，直接写出线段与二次函数的图象只有1个交点时的取值范围．1．如图，矩形中，，E为边上一个动点，连接，取的中点G，点G绕点E逆时针旋转得到点F，连接，则面积的最小值是（）A．4 B． C．3 D．2．若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段的中点，面积的最小值为．3．设二次函数（a，c是常数）的图象与x轴有交点．(1)若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．(2)若图象与x轴只有一个交点，且过，求此时a，c的值．(3)已知，若函数的表达式还可以写成（m，n为常数，且），设二次函数，求的最小值．易错压轴五：二次函数的平移问题例1．若抛物线向上平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．例2．如图①是杭州亚运会的徽标中的钱江潮头，可近似地看成是顶点在y轴上的二次函数，如图②所示，已知，．当潮头以2个单位每秒的速度向x轴正方向移动的过程中，若记潮头起始位置所在的二次函数图象与坐标轴三个交点围成的面积为，则经过秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．练习1．已知，二次函数是常数，且的图象经过，三个点中的两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标（

）A．有最大值为1 B．有最大值为C．有最小值为1 D．有最小值为练习2．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是．

练习3．已知二次函数的图像L过点，顶点坐标为．(1)求这个二次函数的表达式；(2)L与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），求A，B两点坐标；(3)将L向上平移个单位长度，与x轴相交于，两点，若点在线段上，求k的取值范围．1．如图，抛物线与直线交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点P经过的路程为（

）

A．6 B． C． D．2．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B、D．若直线与、共有2个不同的交点，则m的取值范围是．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，．(1)求抛物线的表达式．(2)若抛物线，当时，有最大值，求的值．(3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．易错压轴六：二次函数与一元二次方程例1．将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．例2．已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为练习1．如图，抛物线与直线有两个交点，这两个交点的纵坐标分别为m、n．双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．或练习2．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；练习3．小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路：［辨析与解答]小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．”小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．”小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．”结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程．［应用与拓展]（1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______．（2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______．1．若a，b（）是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则关于a，b的关系正确的是（

）A． B． C． D．2．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：；；对于任意实数，总成立；关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论为（只填序号）3．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：

(1)点B的坐标为______；(2)方程的两个根为______；(3)当时，自变量x的取值范围为______．易错压轴七：实际问题与二次函数例1．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（

）消毒液每瓶售价（元）每瓶成本（元）每日其他费用（元）每日最大产销量（瓶）30181200＋0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．550例2．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为cm，液面到点所在水平地面的距离是cm练习1．如图1，已知的边长为，，于点E．现将沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的与重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象如图2，则当t为9时，S的值是（

）

A． B． C． D．练习2．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为．

练习3．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．(1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值．1．如图1，在中，．点从出发，沿运动到点停止，过点作，垂足为连接．设点的运动路径长为，的面积为，若与的对应关系如图2所示，则的值为（

）A． B． C． D．2．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度（即的长）为．3．某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．

(1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润；(2)每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？(3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围．易错压轴八：二次函数的存在性问题例1．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点与点都是函数图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（

）A． B． C． D．例2．定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”．（1）若是“好点”，则．（2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为．练习1．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．练习2．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点，是点，的“级变换点”．(1)若函数的图象上存在点，的“级变换点”，则的值为；(2)若关于的二次函数()的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是．练习3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．(1)求的值及抛物线的解析式．(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．1．平面上有一个图形与图形外一点，当时，的坐标为，当时，的坐标为，若点在图形上，则称是“点与图形的联系点”，设抛物线：（为常数）顶点为，点关于轴的对称点为，若抛物线上存在点是点与图形的联系点，则所有可能的的和为（

）A．3 B．2 C．1 D．02．若一个点纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“三倍点”．若在的范围内，二次函数的图像上存在两个“三倍点，则的取值范围为．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．易错压轴九：二次函数与相似三角形例1．抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为（）A． B． C． D．例2．已知过点的抛物线与两坐标轴交于点A，C，如图所示，连接，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P．当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为．练习1．如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，若平分，则的值为(

）A． B． C． D．练习2．如图，已知点P是二次函数图像在y轴右侧部分上的一个动点，将直线沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点．若以为直角边的与相似，请求出点P的坐标．

练习3．如图，二次函数（）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，已知，．(1)求该二次函数的表达式；(2)点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M使得有最大值，若存在，请直接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由．(3)连接，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴，垂足为D，连接，若与相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由．1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（）A．， B．，C．，， D．，2．如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于，两点．是抛物线上一点，过作轴，垂足为．如果以，，为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．(1)求抛物线