定积分及其应用(高数)

存在定理的概念定积分定积分的性质定积分的牛顿-莱布尼茨公式章定积分及其应用定积分的应用2021/5/91(1)定积分的定义定义1.定积分的概念2021/5/92被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和2021/5/93(1).定积分表示一个数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即注意：(3)可积的必要条件：2021/5/94曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值(2)定积分的几何意义2021/5/95性质1性质2性质3（区间可加性）2.定积分的性质2021/5/96性质5推论（比较定理或有序性）：（1）（2）性质42021/5/97（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6:估值性质2021/5/98性质7（定积分中值定理）积分中值公式2021/5/99解令于是例12021/5/910解2021/5/911例3.证明：证明：令则令得驻点为：因为所以从而即2021/5/912变上限的定积分函数3.变上限的定积分函数及其导数变上限的定积分函数的性质

说明：变上限的定积分函数对积分上限x的一阶导数等于将被积函数表达式中的变量记号t改写为积分上限x所得到的函数，而与积分下限a无关。2021/5/913补充2021/5/914例

1

求

(x).解根据定理

，得2021/5/915例2求F(x).解根据定理

，得2021/5/916例3求

(x).解

(x)2021/5/917例4求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.2021/5/9182021/5/919证2021/5/9202021/5/921证令由零点存在定理知，在（0，1）之间至少存在一点2021/5/922定理3（微积分基本公式）牛顿—莱布尼茨公式4.牛顿—莱布尼茨公式2021/5/923（1）直接积分法5.定积分的计算（2）凑微分法（第一类换元法）（3）变量替换法（第二类换元法）（4）分部积分法2021/5/924则有定积分换元公式（1）定积分的换元法定理1假设函数函数满足条件:)(txj=(1)(2)具有连续导数,且其值域;)(,)(ba==bjaj2021/5/925定积分的分部积分公式（2）定积分的分部积分法设有连续的导数,则定理2由不定积分的分部积分法及N--L公式.类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”2021/5/926奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式（3）重要公式2021/5/927奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有则则例2021/5/928例

为正偶数为大于1的正奇数==òòxxxxdcosdsin207207pp109三角函数的定积分公式2021/5/929周期函数的定积分公式这个公式就是说：周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.2021/5/930例1设

,求.解例2求

解2021/5/931例3计算解2021/5/932例

4

计算下列定积分.

解2021/5/933例5解2021/5/934解令原式例6：2021/5/935例7

计算解令则2021/5/936例8

计算解2021/5/937例9：设求上的表达式。2021/5/938故2021/5/9392021/5/940思考：2021/5/941例11解法一ò-31d)2(xxf)(tfò=2021/5/942法二即{2021/5/9436.广义积分（1）无穷限的广义积分（2）无界函数的广义积分2021/5/944（1）无穷限的广义积分2021/5/9452021/5/9462021/5/947例1

计算广义积分解2021/5/948例2

计算广义积分解2021/5/949证2021/5/950（2）无界函数的广义积分2021/5/9512021/5/9522021/5/953例4

计算广义积分解2021/5/954证2021/5/9557.定积分的应用1、平面图形的面积2、旋转体的体积3、平面曲线的弧长2021/5/9561平面图形的面积(1)直角坐标情形2021/5/957如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积(2)参数方程所表示的函数2021/5/9582、旋转体的体积xyo2021/5/959

绕固定轴旋转所成旋转体的体积2021/5/960选为积分变量解:

由得交点2021/5/961解两曲线的交点选为积分变量2021/5/962解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．2021/5/963例4：求由所围平面解：2021/5/964计算由椭圆所围图形绕

x

轴旋转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)例52021/5/965方法2